高中数学 1.3.3函数的最大(小)值与导数学案 新人教A版选修.doc

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1、1.3.3 函数的最大(小)值与导数1.能够区分极值与最值两个不同的概念.2.掌握在闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)的求法.1.函数f(x)在闭区间[a,b]上的最值.函数f(x)在闭区间[a,b]上的图象是一条连续不间断的曲线,则该函数在[a,b]上一定能够取得最大值与最小值,函数的最值必在极值点处或区间端点处取得.2.求函数f(x)在闭区间[a,b]上的最值的步骤:(1)求函数y=f(x)在(a,b)内的极值;(2)将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个就是最大值,最小的一个就是最小值.

2、想一想:如图为y=f(x),x∈[a,b]的图象.(1)观察[a,b]上函数y=f(x)的图象,试找出它的极大值、极小值.(2)结合图象判断,函数y=f(x)在区间[a,b]上是否存在最大值,最小值?若存在,分别为多少?(1)解析:极大值为:f(x1)、f(x3),极小值为:f(x2),f(x4).(2)解析:存在,f(x)min=f(a),f(x)max=f(x3).             1.连续不断的函数y=f(x)在区间[a,b]上的最大值是M,最小值是m,若M=m,则f′(x)(A)A.等于0B.大于0C.小于0D.以上都有可能解析:因为最大值等于

3、最小值,所以该函数是常数函数,所以f′(x)=0,故选A.2.函数f(x)=x+2cosx在上的最大值点为(B)A.x=0B.x=C.x=D.x=解析:令f′(x)=1-2sinx=0,则sinx=,又x∈,∴x=,又f(0)=2,f=+,f=,∴f最大,∴最大值点为x=.3.设函数f(x)=x(x2-3),则f(x)在区间[0,1]上的最小值为(C)A.-1B.0C.-2D.2解析:f′(x)=3x2-3=3(x-1)(x+1),当x∈[0,1]时f′(x)≤0,即f(x)在区间[0,1]上是减函数,所以最小值为f(1)=-2.              1

4、.函数y=x-sinx,x∈的最大值是(C)A.π-1B.-1C.πD.π+12.设函数f(x)=2x+-1(x<0),则(A)A.有最大值B.有最小值C.是增函数D.是减函数3.函数f(x)=x3-3ax-a在(0,1)内有最小值,则a的取值范围是(B)A.0≤a<1B.0

5、,令f′(x)=0,得x=.由题设得∈[-2,-1],故m∈[-4,-2].答案:[-4,-2]5.函数f(x)=x3-3x(

6、x

7、<1)(C)A.有最大值,但无最小值B.有最大值,也有最小值C.无最大值,也无最小值D.无最大值,但有最小值解析:f′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),当-1

8、-12x,令f′(x)=0,得x=0或x=2.由f(-2)=-40+m,f(0)=m,f(2)=-8+m,则f(0)=m=3⇒f(-2)=-40+m=-37.故选A.7.函数f(x)=(-2≤x≤1)的最大值是________,最小值是________.解析:x2+1在x∈[-2,1]上的最大值为5,最小值为1.答案: 18.设x0是函数f(x)=(ex+e-x)的最小值点,则曲线上点(x0,f(x0))处的切线方程是________.解析:f′(x)=(ex-e-x),令f′(x)=0,所以x=0,可知x0=0为最小值点.切点为(0,1),f′(0)=0为切

9、线斜率,所以切线方程为y=1.答案:y=19.设直线x=t与函数f(x)=x2,g(x)=lnx的图象分别交于点M,N,求当

10、MN

11、达到最小时t的值.解析:由题意,设

12、MN

13、=F(t)=t2-lnt(t>0),令F′(t)=2t-=0,得t=或t=-(舍去).F(t)在上单调递减,在上单调递增,故t=时,F(t)=t2-lnt(t>0)有极小值,也为最小值.所以

14、MN

15、达到最小值时.t=.10.已知a为常数,求函数f(x)=-x3+3ax(0≤x≤1)的最大值.解析:f′(x)=-3x2+3a=-3(x2-a).若a≤0,则f′(x)≤0,函数f(x)单调递减

16、,所以当x=0时,有最大值f(0)=0

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