高中数学 一元二次不等式学案 苏教版必修.doc

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1、一元二次不等式一、学习内容、要求及建议知识、方法要求建议解一元二次不等式类比掌握类比一次函数、一元一次不等式、一元一次方程之间的关系，通过一元二次方程的解、二次函数的图像探求一元二次不等式的解法，熟悉三个二次型的相互转换．一元二次方程、二次函数、一元二次不等式的联系数形结合理解二、预习指导1．预习目标(1)回顾一次函数、一元一次不等式、一元一次方程之间的关系；(2)探究一元二次不等式的解法．2．预习提纲(1)复习一次函数、一元一次方程，一元一次不等式三者关系完成下表空白处一次函数的图象xyy=ax+bOxyy=ax+bO一元一次方程的解一元一次不等式的解一元一次不

2、等式的解一次函数、一元一次方程、一元一次不等式三者关系是：一次函数所表示的直线与x轴的交点的横坐标是对应的一元一次方程的根，直线在x轴上方(或下方)的点的横坐标的取值范围就是一元一次不等式的解．(2)类比探究“一次函数、一元一次方程、一元一次不等式”三者之间的关系的做法，我们可以从一元二次方程的解、二次函数的图像探求一元二次不等式的解法．①对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)，设△＝b2－4ac，它的解的情形按照△＞0，△＝0，△＜0分别为下列三种情况——有两个不相等的实数解、有两个相等的实数解和没有实数解；相应地，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＞0)与

3、x轴分别有两个公共点、一个公共点和没有公共点(如下图所示)；因此，我们可以分下列三种情况讨论对应的一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)与ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解．xyxyx1yx2x1，2③①②(1)当Δ＞0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＞0)与x轴有两个公共点(x1，0)和(x2，0)，方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根x1和x2(x1＜x2)，由图①可知：不等式ax2＋bx＋c＞0的解为x＜x1，或x＞x2；不等式ax2＋bx＋c＜0的解为x1＜x＜x2．当Δ＝0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＞0)与x轴有且仅有一个公共点，

4、方程ax2＋bx＋c＝0有两个相等的实数根x1＝x2＝－，由图②可知：不等式ax2＋bx＋c＞0的解为x≠－；不等式ax2＋bx＋c＜0无解．当△＜0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＞0)与x轴没有公共点，方程ax2＋bx＋c＝0没有实数根，由图③可知：不等式ax2＋bx＋c＞0的解为一切实数；不等式ax2＋bx＋c＜0无解．②我们在解一元二次不等式时，如果二次项系数大于零，可以利用上面的结论直接求解；如果二次项系数小于零，则可以先在不等式两边同乘以－1，将不等式变成二次项系数大于零的形式，再利用上面的结论去解不等式．③若不等式为ax2＋bx＋c≥0和ax2＋b

5、x＋c≤0(a＞0)，其解的情况如何？设,是方程的两实根，且，则不等式的解集如下表：(完成表格空白处)的图象xyx1x2x1，2xyxy一切实数或3．典型例题例1(1)当x为何值时，x2－x－6的值①等于0；②大于0；③小于0．(2)当x为何值时，函数y＝x2―x―6①图像上的点在x轴上；②图像上的点在x轴的上方；③图像上的点在x轴的下方．分析：从一元二次方程的解、二次函数的图像探求一元二次不等式的解法．解：方程x2―x―6＝0的根就是函数y＝x2－x－6的图像与x轴交点的横坐标；不等式x2―x―6＞0的解就是函数y＝x2―x―6的图像在x轴上方的点的横坐标；不等

6、式x2―x―6＜0的解就是函数y＝x2―x―6的图像在x轴下方的点的横坐标．例2解不等式：(1)x2＋2x－3≤0；(2)x－x2＋6＜0；(3)4x2＋4x＋1≥0；(4)x2－6x＋9≤0；(5)－4＋x－x2＜0；(6).分析：解一元二次不等式时，通常这样操作：(1)如果二次项系数小于零，那么在不等式两边同乘以－1，将不等式变成二次项系数大于零的形式；如果二次项系数大于零，那么直接做(2)；(2)求△＝b2－4ac，判断△＞0，△＝0，△＜0；(3)不等式的解按照△＞0，△＝0，△＜0的情形，利用学习指导的结论直接求．若不等式为ax2＋bx＋c≥0和ax2＋

7、bx＋c≤0(a＞0)，结合图像对解的情况作相应调整．解：(1)∵Δ＞0，方程x2＋2x－3＝0的解是x1＝－3，x2＝1．∴不等式的解为－3≤x≤1；(2)整理，得x2－x－6＞0．∵Δ＞0，方程x2－x－6＝0的解为x1＝－2，x2＝3；∴原不等式的解为x＜－2，或x＞3；(3)整理，得(2x＋1)2≥0．由于上式对任意实数x都成立，∴原不等式的解为一切实数；(4)整理，得(x－3)2≤0．由于x＝3时，(x－3)2＝0成立；而对任意的实数x，(x－3)2＜0都不成立，∴原不等式的解为x＝3；(5)整理，得x2－x＋4＞0．Δ＜0，所以，原不等式的解为一切实数

8、；(6)方