高中数学 第3章 三角恒等变换 3.1.1 两角和与差的余弦教学设计 苏教版必修.doc

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1、3．1.1　两角和与差的余弦作者：王盈慧，江苏省前黄高级中学教师，本教学设计获江苏省教学设计大赛二等奖．设计思路　　　　　整堂课大致分两部分，一是探究发现；二是知识应用．探究过程由物理情景出发，尝试解决物理问题后抽象出数学模型——向量，再转化问题的表述，回归数学本质，探究“cos(α－β)能否用α，β的三角函数表示出来？如何表示？”这一问题．经历“猜想——验证——证明”的体验过程，感受向量方法证明的简洁美和数学探究的成功体验．以《几何画板》为探索平台，完成公式推导，并体验α，β的任意性．证明过程由粗至精，在直观形象的基础上进一步去体验数学的科学

2、严谨．通过例1、例2和练习1学会运用公式进行简单三角函数的化简、求值，例3有一定技巧，意在让学生初步体会角的变换的灵活性．教学目标　　　　　1．经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用；2．掌握两角和与差的余弦公式，能正确运用这些公式进行简单三角函数的化简、求值；3．培养学生发现问题、研究问题、解决问题的能力及创新能力，掌握数形结合这一重要数学思想；4．引导学生注意养成有条理地逐步解决问题的习惯，培养学生普遍联系、运动变化、数学来源于实践又指导实践的辩证唯物主义观点及勇于探索的创新精神．情景创设　　　　　1．物理

3、情景如图1所示，倾角为30°的斜坡上，一物体在力F的作用下前进了1m，已知

4、F

5、＝1N，力F的方向与水平方向成45°角，求此过程中力F所做的功．图1设问1：力F与位移s的夹角不是我们熟知的那些特殊角，有办法求此过程中力F所做的功W吗？将力F正交分解，得水平方向和竖直方向的两个分力F1、F2，将位移s也按同样的方向做正交分解为s1、s2，可以具体计算出W1、W2，再求出和功W.发现：由F·s＝F1·s1＋F2·s2，有cos(45°－30°)＝cos45°cos30°＋sin45°sin30°.设问2：一般地，斜坡倾角为β，力F的方向与水平方向所

6、成角为α，还会有类似的结果吗？2．数学情境将上述问题中的数学模型抽象出来：我们知道，力、位移这些矢量在数学中抽象为向量，下面我们将前面的探索翻译成数学语言、向量语言．设问3：(设问2的转化)cos(α－β)能否用α，β的三角函数表示出来？如何表示？猜猜看？学生活动：举例验证各自的猜想是否正确，然后班级交流．(猜想cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ，诱导公式就是极好的验证例子)设问4：所猜想的等式有什么结构特点？你能推导出这一猜想吗？说说你的推导思路．建构数学　　　　　探究1：cos(α－β)看成两个向量的夹角的余弦，用向量的数

7、量积来研究．(严谨性不必一步到位，采用学生们的说法“α－β为两向量夹角”)师生活动：从“α－β为两向量夹角”这一不够严谨的说法出发，学生画图探索，尝试证明．老师用“几何画板”演示(如图2)，写出推导思路．再用“几何画板”演示(如图3)，引导大家对欠严谨处展开讨论，体验α，β的任意性．图2图3前面的推导必须符合条件0≤α－β≤π才正确，α、β是任意的，α－β也应该是任意的．猜想仍然正确吗？利用诱导公式，存在θ∈[0,2π)使cosθ＝cos(α－β)，若θ∈[0，π]，则a·b＝cosθ＝cos(α－β)；若θ∈[π，2π)，则2π－θ∈[0，π

8、]且a·b＝cos(2π－θ)＝cosθ＝cos(α－β)．从而得出公式cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ.C(α－β)探究2：(旋转变换的思想)如图4，将角α－β旋转变换到以x轴正方向为始边的位置，接着利用两点间的距离公式建立等式＝.图4引导体会该证法的优点(任意角α、β的终边位置不同不影响公式的证明)．探究3：cos(α＋β)能否用α、β的三角函数表示出来？如何表示？学生小组讨论后很容易由α＋β＝α－(－β)或依据α、β的任意性令β＝－β得出公式：cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ.发散：模仿探究3你还能

9、得出其他类似结果吗？数学运用　　　　　我们探索得到了两角和与差的余弦公式，公式形式上有什么特点，如何记忆？这一公式的得出又有怎样的价值？例1利用两角和(差)的余弦公式，求cos75°，cos15°，sin15°，tan15°.设问5：这里的75°、15°以前我们并不熟悉，现在要求它们的余弦值(三角函数值)，怎样处理？学生很快会答出将75°表示成45°＋30°，将15°表示成45°－30°，然后再利用两角和(差)的余弦公式求值．学生还会想出60°－45°的处理办法，要及时肯定．教师板书解题过程，启发学生总结出解决问题的关键点：“将所求角用熟知的特

10、殊角表示出来”．本题还涉及到诱导公式和同角三角函数关系的运用，也需设问引导学生注意总结．学生若能够与探究部分的发散联系起来，得出两角和(差)的正弦公式