高中数学 第一章 坐标系 2.1 极坐标系的概念 2.2 点的极坐标与直角坐标的互化学案 北师大版选修.doc

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1、2．1&2.2　极坐标系的概念　点的极坐标与直角坐标的互化[对应学生用书P5]1．极坐标系的概念(1)极坐标系：在平面内取一个定点O，叫作极点，自极点O引一条射线Ox，叫作极轴；选定一个单位长度和角的正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．(2)点的极坐标：对于平面上任意一点M，用ρ表示线段OM的长，用θ表示以Ox为始边，OM为终边的角度，ρ叫作点M的极径，θ叫作点M的极角，有序实数对(ρ，θ)就叫作点M的极坐标，记作M(ρ，θ)．①特别地，当点M在极点时，它的极径ρ＝0，极角θ可以取任意值；②点与极坐标的关系：平面内一点的极坐标可以有无数对，当k∈

2、Z时，(ρ，θ)，(ρ，θ＋2kπ)，(－ρ，θ＋(2k＋1)π)表示同一个点，如果规定ρ>0,0≤θ<2π或者－π<θ≤π，那么除极点外，平面内的点和极坐标就一一对应了．2．点的极坐标与直角坐标的互化(1)互化的前提条件：①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；②极轴与x轴的正半轴重合；③两种坐标系取相同的长度单位．(2)极坐标与直角坐标的互化：①将点M的极坐标(ρ，θ)化为直角坐标(x，y)的关系式为.②将点的直角坐标(x，y)化为极坐标(ρ，θ)的关系式为.1．极坐标系与平面直角坐标系有什么区别和联系？提示：区别：平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何

3、背景，而极坐标以角和距离为背景．联系：二者都是平面坐标系，用来研究平面内点与距离等有关问题．2．点M(ρ，θ)关于极轴、极点以及过极点且垂直于极轴的直线的对称点的坐标各为什么？提示：(ρ，2π－θ)，(ρ，π＋θ)，(ρ，π－θ)．3．把直角坐标转化为极坐标时，表示方法唯一吗？提示：通常有不同的表示法．(极角相差2π的整数倍)[对应学生用书P6]由极坐标确定点的位置[例1]　在极坐标系中，画出点A，B，C，D.[思路点拨]　本题考查极坐标系以及极坐标的概念，同时考查数形结合思想，解答此题需要先建立极坐标系，再作出极角的终边，然后以极点O为圆心，极径为半径分别画弧，

4、从而得到点的位置．[精解详析]　在极坐标系中先作出线，再在线上截取

5、OA

6、＝1，这样可得到点A.同样可作出点B，C，D，如图所示．由极坐标确定点的位置的步骤(1)取定极点O；(2)作方向为水平向右的射线Ox为极轴；(3)以极点O为顶点，以极轴Ox为始边，通常按逆时针方向旋转极轴Ox确定出极角的终边；(4)以极点O为圆心，以极径为半径画弧，弧与极角终边的交点即是所求点的位置．1．在极坐标系中，作出以下各点：A(4,0)，B，C，D；结合图形判断点B，D的位置是否具有对称性；并求出B，D关于极点的对称点的极坐标．(限定ρ≥0，θ∈[0,2π))解：如图，A，B，C，D

7、四个点分别是唯一确定的．由图形知B，D两点关于极轴对称，且B，D关于极点的对称点的极坐标分别为，.化极坐标为直角坐标[例2]　已知A，B，将A，B坐标化为直角坐标，并求A，B两点间的距离．[思路点拨]　本题考查如何将极坐标化为直角坐标，解答此题需要利用互化公式先将极坐标化为直角坐标，再由两点间的距离公式得结果．[精解详析]　将A，B由极坐标化为直角坐标，对于点A，有x＝3cos＝，y＝3sin＝－，∴A.对于点B，有x＝1×cos＝－，y＝1×sin＝，∴B(－，)．∴

8、AB

9、＝＝＝4.1．将极坐标M(ρ，θ)化为直角坐标(x，y)，只需根据公式：即可得到；2．利

10、用两种坐标的互化，可以把不熟悉的极坐标问题转化为熟悉的直角坐标问题求解．本例中如何由极坐标直接求A，B两点间的距离？解：根据M(ρ1，θ1)，N(ρ2，θ2)，则由余弦定理得：

11、MN

12、＝，所以

13、AB

14、＝＝4.化直角坐标为极坐标[例3]　分别将下列点的直角坐标化为极坐标(ρ>0，0≤θ<2π)．(1)(－1,1)，(2)(－，－1)．[思路点拨]　本题考查如何将直角坐标化为极坐标，同时考查三角函数中由值求角问题，解答此题利用互化公式即可，但要注意点所在象限．[精解详析]　(1)∵ρ＝＝，tanθ＝－1，θ∈[0,2π)，又点(－1,1)在第二象限，∴θ＝.∴直角坐标

15、(－1,1)化为极坐标为.(2)ρ＝＝2，tanθ＝＝，θ∈[0,2π)，∵点(－，－1)在第三象限，∴θ＝π.∴直角坐标(－，－1)化为极坐标为.将点的直角坐标(x，y)化为极坐标(ρ，θ)时，运用公式即可，在[0,2π)范围内，由tanθ＝(x≠0)求θ时，要根据直角坐标的符号特征，判断出点所在象限，如果允许θ∈R，再根据终边相同的角的意义，表示为θ＋2kπ，k∈Z即可．2．将下列各点由直角坐标化为极径ρ是正值，极角在0到2π之间的极坐标．(1)(3，)；(2)(－2，－2)．解：(1)ρ＝＝2，tanθ＝＝，又点(3，)在第一象限，所以θ＝.所以点(3，)的

16、极坐标为