高中数学 2.1极坐标系的概念 §2.2点的极坐标与直角坐标的互化导学案 北师大版选修4-4

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1、§2　极坐标系2.1　极坐标系的概念2.2　点的极坐标与直角坐标的互化1．掌握极坐标的概念，弄清极坐标的结构(建立极坐标的四要素)．2．理解广义极坐标下点的极坐标(ρ，θ)与点之间的多对一的对应关系．3．已知一点的极坐标，能在极坐标系中描点，能进行点的极坐标与直角坐标的互化．1．极坐标系的概念(1)极坐标系的建立．如图，在平面内取一个定点O，叫作____，从点O引一条射线Ox，叫作____，选定一个________和__的正方向(通常取逆时针方向)．这样就确定了一个平面极坐标系，简称为________．(2)点的极坐标的规定．①如图，对于平面内任意一点M，用ρ表示线段OM的长

2、，θ表示以Ox为始边、OM为终边的角，ρ叫作点M的____，θ叫作点M的____，有序实数对(ρ，θ)叫作点M的______，记作M______.当点M在极点时，它的极径ρ＝__，极角θ可以取______．②为了研究问题方便，极径ρ也允许取负值．当ρ＜0时，点M(ρ，θ)的位置可以按下列规则确定：作射线OP，使∠xOP＝θ，在OP的__________上取一点M，使

3、OM

4、＝

5、ρ

6、，这样点M的坐标就是(ρ，θ)，如下图：【做一做1－1】在极坐标系中，与点重合的点是(　　)．A．B．C．D．【做一做1－2】在极坐标系中，与(ρ，θ)关于极轴对称的点是(　　)．A．(ρ，θ)B．

7、(ρ，－θ)C．(ρ，θ＋π)D．(ρ，π－θ)2．点的极坐标与直角坐标的互化(1)互化的前提条件．如图，建立一个平面直角坐标系，把平面直角坐标系的原点作为____，x轴的正半轴作为____，建立极坐标系，并且两种坐标系中取相同的________．(2)互化公式．如上图，设M是平面内的任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)．如果限定ρ取正值，θ∈[0,2π)，那么除____外，平面内点的直角坐标与极坐标之间就是一一对应的．①点M的极坐标(ρ，θ)化为直角坐标(x，y)的公式是②点M的直角坐标(x，y)化为极坐标(ρ，θ)的公式是【做一做2－1】点M的极坐标为，

8、化成直角坐标形式是__________．【做一做2－2】点A的极坐标为，化成直角坐标形式是__________．【做一做2－3】点P的直角坐标为(，)，化成极径是正值，极角在0到2π之间的极坐标为__________．1．建立极坐标系的意义剖析：我们已经知道，确定平面内一个点的位置时，有时是依靠水平距离与垂直距离(即“长度”与“长度”，这就是直角坐标系的基本思想)这两个量来刻画，有时却是依靠距离与方位角(即“长度”与“角度”，这就是极坐标系的基本思想)这两个量来刻画．在生活中，如在台风预报、地震预报、测量、航空、航海中，甚至更贴近我们生活的如我们听到的声音，不但有高低之分，还

9、有方向之分，我们能够辨别出声源的相对位置，这些都要用距离和方向来确定一点的位置．有些复杂的曲线，比如说环绕一点作旋转运动的点的轨迹，用直角坐标表示，形式极其复杂，但用极坐标表示，就变得十分简单且便于处理．在应用上有重要价值的等速螺线，它的直角坐标x与y之间的关系很难确定，可是它的极坐标ρ与θ却有一个简单的一次函数关系，我们将在后一节的内容中学习极坐标形式下的一些简单曲线方程．总之，使用极坐标是人们生产生活的需要．平面内建立直角坐标系是人们公认的最容易接受并且被经常采用的方法，但它并不是确定点的位置的唯一方法．2．极坐标系下点与它的极坐标对应情况剖析：(1)给定点(ρ，θ)，就

10、可以在极坐标平面内确定唯一的一个点M；(2)给定平面上一点M，却有无数个极坐标与之对应．原因在于极角有无数个．答案：1．(1)极点　极轴　单位长度　角　极坐标系(2)①极径　极角　极坐标　(ρ，θ)　0　任意值　②反向延长线【做一做1－1】A　当k∈Z时，(ρ，θ)，(ρ，θ＋2kπ)，(－ρ，θ＋(2k＋1)π)表示同一个点．因为＝＋2π，所以点与表示同一个点，即重合．【做一做1－2】B　极径为ρ，极角为θ，θ关于极轴对称的角为负角－θ，故所求的点为(ρ，－θ)．2．(1)极点　极轴　单位长度　(2)原点　①ρcosθ　ρsinθ　②x2＋y2　(x≠0)【做一做2－1】　

11、x＝5cosπ＝－，y＝5sinπ＝.所以点M的直角坐标为.【做一做2－2】(－1，)　因为点A的极坐标又可以写成，所以x＝ρcosθ＝2cos＝2×＝－1，y＝ρsinθ＝2sin＝2×＝.所以点A的直角坐标为(－1，)．【做一做2－3】　ρ＝＝2，tanθ＝＝，又点P在第一象限，得θ＝，因此点P的极坐标是.题型一极坐标系中点的表示【例1】已知点M的极坐标为，下列给出的四个坐标中能表示点M的坐标的是(　　)．A．B．C．D．反思：在极坐标系中，极坐标(ρ，θ)与(ρ，θ＋2kπ)(k∈Z)表示同一个点