高中数学 第一章 导数及其应用 1.4 导数在实际生活中的应用教学案 苏教版选修.doc

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1、1.4导数在实际生活中的应用面积、体积最大问题[例1]　用长为18cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2∶1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？[思路点拨]　不妨设长方体的宽为xm，则长为2xm，高为h＝＝(4.5－3x)m.建立长方体的体积函数模型，再求最值．[精解详析]　设长方体的宽为xm，则长为2xm，高为h＝＝(4.5－3x)m.故长方体的体积为V(x)＝2x2(4.5－3x)＝(9x2－6x3)m3.从而V′(x)＝18x－18x2＝18x(1－x)．令V′(x)＝0，

2、解得x＝0(舍去)，或x＝1，因此x＝1.当00；当1

3、时，如果函数在区间内只有一个极值点，那么依据实际意义，该极值点也就是最值点．1．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20cm，要使其体积最大，则高为________cm.解析：设该漏斗的高为xcm，则底面半径为cm，其体积为V＝πx(202－x2)＝π(400x－x3)(00；当

4、方形，然后把四边翻折90°，再焊接而成．问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？解：设容器的高为xcm，容积为V(x)cm3，则V(x)＝x(90－2x)(48－2x)＝4x3－276x2＋4320x(00，即V(x)为增函数；当10

5、其最大值为V(10)＝19600(cm3)．因此当容器的高为10cm时，容器的容积最大，最大容积为19600cm3.成本最低(费用最省)问题[例2]　如图，某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200m2的三级污水处理池，由于地形限制，长、宽都不能超过16m，如果池外周壁建造单价为每米400元，中间两条隔墙建造单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元(池壁厚度忽略不计，且池无盖)．(1)写出总造价y(元)与污水处理池长x(m)的函数关系式，并指出其定义域；(2)污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低？并求出最低总

6、造价．[思路点拨]　→→→→→[精解详析]　(1)污水处理池长为xm，则宽为m.据题意解得≤x≤16，y＝×400＋×248＋16000＝800x＋＋16000，(2)由(1)知y′＝800－＝0，解得x＝18，当x∈(0,18)时，函数y为减函数；当x∈(18，＋∞)时，函数y为增函数．又∵≤x≤16，∴当x＝16时，ymin＝45000.∴当且仅当长为16m、宽为12.5m时，总造价y最低为45000元．[一点通]　(1)实际生活中用料最省、费用最低、损耗最小、最节省时间等都需要利用导数求解相应函数的最小值，此时根据f′(x)

7、＝0求出函数取极值的点(注意根据实际意义舍去不合适的函数取极值的点)，若函数在该点附近满足左减右增，则此时惟一的极小值就是所求函数的最小值．(2)在解题过程中很容易忽略关键词“无盖”，从而多求了一个底面积．实际问题中的用料最省问题一般都是要求几何体的表面积，但要注意实物的表面积往往会缺少一个底面或侧面等．3．做一个容积为256升的方底无盖水箱，它的高为________分米时最省材料．解析：设水箱底面边长为x分米，则高为分米，用料总面积S＝x2＋4··x＝x2＋，S′＝2x－，令S′＝0得x＝8，当0＜x＜8时，S′＜0，当x＞8时

8、，S′＞0，所以当x＝8时，S取得最小值，则高为4分米．答案：44．某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经测算，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋)x万