高中数学 第一章 解三角形 1.2 应用举例（1）学案 新人教A版必修.doc

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1、1.2应用举例（1）学习目标　1.会用正弦、余弦定理解决生产实践中有关不可到达点距离的测量问题.2.培养提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力．知识点一　常用角思考　试画出“北偏东60°”和“南偏西45°”的示意图．答案　梳理　在解决实际问题时常会遇到一些有关角的术语，请查阅资料后填空：(1)方向角指北或指南方向线与目标方向所成的小于90度的角．(2)仰角与俯角与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平线上方时叫仰角，目标视线在水平线下方时叫俯角．(如下图所示)知识点二　测量方案思

2、考　如何不登月测量地月距离？答案　可以在地球上选两点，与月亮构成三角形，测量地球上两点的距离和这两点看月亮的视角，通过解三角形求得地月距离．梳理　测量某个量的方法有很多，但是在实际背景下，有些方法可能没法实施，比如直接测量地月距离．这个时候就需要设计方案绕开障碍间接地达到目的．设计测量方案的基本任务是把目标量转化为可测量的量，并尽可能提高精确度．一般来说，基线越长，精确度越高．类型一　测量可到达点与不可到达点间的距离例1　如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一

3、点C，测出AC的距离是55m，∠BAC＝51°，∠ACB＝75°.求A，B两点间的距离．(精确到0.1m)解　根据正弦定理，得＝，AB＝＝＝＝≈65.7(m)．所以A，B两点间的距离为65.7m.反思与感悟　解决实际测量问题的过程一般要充分理解题意，正确作出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解．跟踪训练1　在相距2千米的A、B两点处测量目标点C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A、C两点之间的距离为______千米．答案　解析　如图所示，由题意知C＝1

4、80°－A－B＝45°，由正弦定理得＝，∴AC＝·＝(千米)．类型二　测量两个不可到达点间的距离例2　如图，A、B两点都在河的对岸(不可到达)，设计一种测量A、B两点间距离的方法．解　测量者可以在河岸边选定两点C、D，测得CD＝a，并且在C、D两点分别测得∠BCA＝α，∠ACD＝β，∠CDB＝γ，∠BDA＝δ，在△ADC和△BDC中，应用正弦定理得AC＝＝，BC＝＝.计算出AC和BC后，再在△ABC中，应用余弦定理计算出A、B两点间的距离AB＝.引申探究对于例2，给出另外一种测量方法．解　测量者可以在河岸边选定

5、点E、C、D，使A、E、C三点共线，测得EC＝a，ED＝b，并且分别测得∠BEC＝∠AED＝α，∠BCA＝β，∠ADB＝γ，在△AED和△BEC中，应用正弦定理得AE＝＝，BE＝＝.在△ABE中，应用余弦定理计算出A、B两点间的距离AB＝.反思与感悟　本方案的实质是：把求不可到达的两点A，B之间的距离转化为类型一．跟踪训练2　如图，为测量河对岸A，B两点间的距离，沿河岸选取相距40米的C，D两点，测得∠ACB＝60°，∠BCD＝45°，∠ADB＝60°，∠ADC＝30°，则A，B两点的距离是(　　)A．20米B

6、．20米C．40米D．20米答案　D解析　在△BCD中，∠BDC＝60°＋30°＝90°，∠BCD＝45°，∴∠CBD＝90°－45°＝∠BCD，∴BD＝CD＝40，BC＝＝40.在△ACD中，∠ADC＝30°，∠ACD＝60°＋45°＝105°，∴∠CAD＝180°－(30°＋105°)＝45°.由正弦定理，得AC＝＝20.在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC×BC×cos∠BCA＝(40)2＋(20)2－2×40×20cos60°＝2400，∴AB＝20，故A，B两点之间的距离为20米

7、．1．如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者与A在河的同侧，在所在的河岸边先确定一点C，测出A，C的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点的距离为(　　)A．50mB．50mC．25mD.m答案　A解析　∠B＝180°－45°－105°＝30°，在△ABC中，由＝，得AB＝100×＝50.2．某人向东方向走了x千米，然后向右转120°，再朝新方向走了3千米，结果他离出发点恰好千米，那么x的值是________．答案　4解析　由余弦定理，得x2＋9－3x＝13，整理得x2

8、－3x－4＝0，解得x＝4.3．如图，为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上B，D两点，测出四边形ABCD各边的长度(单位：km)：AB＝5，BC＝8，CD＝3，DA＝5，A，B，C，D四点共圆，则AC的长为________km.答案　7解析　因为A，B，C，D四点共圆，所以D＋B＝π.在△ABC和△ADC中，由余弦定理可得82＋52－2×8×5×cos(π－D)＝32＋52－2×