高中数学 第一章 解三角形 1.2 应用举例（3）学案 新人教A版必修.doc

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1、1.2应用举例（3）学习目标　1.能够运用正弦、余弦定理解决航海测量中的实际问题.2.掌握三角形的面积公式的简单推导和应用．知识点一　航海中的测量问题思考　在浩瀚无垠的海面上航行，最重要的是定位和保持航向．阅读教材，看看船只是如何表达位置和航向的？答案　用方向角和方位角．梳理　方位角：指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角．方向角：从指定方向到目标方向线所成的水平角．如南偏西60°，即以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60°.知识点二　三角形面积公式的拓展思考　如果已知底边和底边上的高，可以求三角形面

2、积．那么如果知道三角形两边及夹角，有没有办法求三角形面积？答案　在△ABC中，如果已知边AB、BC和角B，边BC上的高记为ha，则ha＝ABsinB．从而可求面积．梳理　在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则△ABC的面积S＝absinC＝bcsinA＝acsinB.类型一　航海中的测量问题例1　如图，一艘海轮从A出发，沿北偏东75°的方向航行67.5nmile后到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东32°的方向航行54.0nmile后到达海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C，此船应该沿怎样的

3、方向航行，需要航行多少距离？(角度精确到0.1°，距离精确到0.01nmile)解　在△ABC中，∠ABC＝180°－75°＋32°＝137°，根据余弦定理，AC＝＝≈113.15.根据正弦定理，＝，sin∠CAB＝≈≈0.3255，所以∠CAB＝19.0°，75°－∠CAB＝56.0°.答　此船应该沿北偏东56.0°的方向航行，需要航行113.15nmile.反思与感悟　解决航海问题一要搞清方位角(方向角)，二要弄清不动点(三角形顶点)，然后根据条件，画出示意图，转化为解三角形问题．跟踪训练1　甲船在A

4、点发现乙船在北偏东60°的B处，乙船以每小时a海里的速度向北行驶，已知甲船的速度是每小时a海里，问甲船应沿着什么方向前进，才能最快与乙船相遇？解　如图所示．设经过t小时两船在C点相遇，则在△ABC中，BC＝at(海里)，AC＝at(海里)，B＝90°＋30°＝120°，由＝，得sin∠CAB＝＝＝＝，∵0°<∠CAB<90°，∴∠CAB＝30°，∴∠DAC＝60°－30°＝30°，∴甲船应沿着北偏东30°的方向前进，才能最快与乙船相遇．类型二　三角形面积公式的应用命题角度1　求面积例2　在△ABC中，根据

5、下列条件，求三角形的面积S.(精确到0.1cm2)(1)已知a＝14.8cm，c＝23.5cm，B＝148.5°；(2)已知B＝62.7°，C＝65.8°，b＝3.16cm；(3)已知三边的长分别为a＝41.4cm，b＝27.3cm，c＝38.7cm.解　(1)应用S＝casinB，得S＝×23.5×14.8×sin148.5°≈90.9(cm2)．(2)根据正弦定理＝，得c＝，S＝bcsinA＝b2，A＝180°－(B＋C)＝180°－(62.7°＋65.8°)＝51.5°，S＝×3.162×≈4.0(

6、cm2)．(3)根据余弦定理的推论，得cosB＝＝≈0.7697，sinB＝≈≈0.6384.应用S＝casinB，得S≈×38.7×41.4×0.6384≈511.4(cm2)．反思与感悟　三角形面积公式S＝absinC，S＝bcsinA，S＝acsinB中含有三角形的边角关系．因此求三角形的面积，与解三角形有密切的关系．首先根据已知，求出所需，然后求出三角形的面积．跟踪训练2　在△ABC中，AB＝，AC＝1，B＝30°，求△ABC的面积．解　由正弦定理，得＝，∴sinC＝.∵0°

7、60°或120°.①当C＝60°时，A＝90°，∴S△ABC＝××1＝；②当C＝120°时，A＝30°，S△ABC＝××1×sin30°＝.命题角度2　已知三角形面积例3　在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c＝2，C＝.若△ABC的面积等于，求a，b.解　由余弦定理及已知条件，得a2＋b2－ab＝4，又因为△ABC的面积等于，所以absinC＝，得ab＝4，联立方程组解得反思与感悟　题目条件或结论中若涉及三角形的面积，要根据题意灵活选用三角形的面积公式．跟踪训练3　如图所示，已知

8、半圆O的直径为2，点A为直径延长线上的一点，OA＝2，点B为半圆上任意一点，以AB为一边作等边三角形ABC，求B在什么位置时，四边形OACB的面积最大．解　设∠AOB＝α，在△ABO中，由余弦定理，得AB2＝12＋22－2×1×2cosα＝5－4cosα，α∈(0，π)，∴S＝S△AOB＋S△ABC＝OA·OB·sinα＋AB2＝2sin＋.当α－＝，α＝，即∠AOB＝时，四边形的面积最大．1．一艘海轮从A处出发，以40nmi