高中数学 第三章 不等式 3.1.1 不等关系与不等式学案 新人教B版必修.doc

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1、3.1.1　不等关系与不等式[学习目标]　1.能用不等式(组)表示实际问题的不等关系.2.学会作差法比较两实数的大小．[知识链接]用不等关系表示下列几个命题：(1)a与b的和是非负数可表示为________；(2)某公路立交桥对通过车辆的高度h“限高4m”可表示为________；(3)设点A与平面α的距离为d，B为平面α上的任意一点，则d的取值范围为________；(4)任意实数a，b之间的大小关系可表示为________．答案　(1)a＋b≥0　(2)0

2、AB

3、　(4)a≥b或a＜b[预习导引]1．不等式的概念用数学符号“≠”、“>”、“<”、“≥”、“≤”连接

4、两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系．含有这些不等号的式子，叫做不等式．2．符号“≥”和“≤”的含义如果a，b是两个实数，那么a≥b，即为a>b或a＝b；a≤b即为ab；如果a－b等于零，那么a＝b；如果a－b是负数，那么a0⇔a>b；a－b＝0⇔a＝b；a－b<0⇔a

5、笔费用．若每人承担12元人民币，则多余84元；若每人承担10元，则不够；若每人承担11元，又多出40元以上．若该班除小李外共有x人，这笔开学费用共用y元，用不等式(组)表示上述不等关系．解　由于该班除小李外共有x人，这笔开学费用共y元，则：规律方法　数学的能力之一就是抽象概括能力，即能用数学语言表示出实际问题中的数量关系．用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时，(1)要先读懂题，设出未知量；(2)抓关键词，找到不等关系；(3)用不等式表示不等关系，思维要严密、规范．跟踪演练1　如下图，在一个面积为350平方米的矩形地基上建造一个仓库，四周是绿地．仓库的长L大于宽W的4倍．写出L与W的关系．

6、解　由题意，得要点二　实数大小的比较例2　(1)已知x<1，比较x3－1与2x2－2x的大小．(2)设x，y，z∈R，比较5x2＋y2＋z2与2xy＋4x＋2z－2的大小．解　(1)x3－1－(2x2－2x)＝x3－2x2＋2x－1＝(x3－x2)－(x2－2x＋1)＝x2(x－1)－(x－1)2＝(x－1)(x2－x＋1)＝(x－1)[(x－)2＋]，∵x<1，∴x－1<0，又∵(x－)2＋>0，∴(x－1)[(x－)2＋]<0，∴x3－1<2x2－2x.(2)∵5x2＋y2＋z2－(2xy＋4x＋2z－2)＝4x2－4x＋1＋x2－2xy＋y2＋z2－2z＋1＝(2x－1)2＋(x－y)

7、2＋(z－1)2≥0，∴5x2＋y2＋z2≥2xy＋4x＋2z－2，当且仅当x＝y＝且z＝1时取等号．规律方法　作差法比较两个实数的大小，关键是作差后的变形．一般变形越彻底越有利于下一步的判断，变形常用的方法有：因式分解、配方、通分、对数与指数的运算性质、分母或分子有理化等．另外还要注意分类讨论．跟踪演练2　已知a，b∈R＋.试利用作差法比较a3＋b3与a2b＋ab2的大小．解　∵a3＋b3－(a2b＋ab2)＝(a3－a2b)＋(b3－ab2)＝a2(a－b)＋b2(b－a)＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b)，当a＝b时，a－b＝0，a3＋b3＝a2b＋ab2；当a≠b时，

8、(a－b)2>0，a＋b>0，a3＋b3>a2b＋ab2.要点三　不等式的证明例3　已知a>0，b>0，证明不等式＋≥＋.解　(＋)－(＋)＝(－)＋(－)＝＋＝＝.∵a、b为正实数，∴＋>0，>0，(－)2≥0.∴≥0，当且仅当a＝b时，等号成立．∴＋≥＋，当且仅当a＝b时等号成立．规律方法　用作差法证明不等式是常用方法之一，其关键是差式的变形，无论采取何种方法，最终应变形到能够判断差的符号为止．当直接作差较困难时，可考虑先平方再作差，要注意保证两数(式)同号．跟踪演练3　已知a>b>0，试证明aabb>abba.证明　方法一　∵＝aa－b·bb－a＝()a－b，∵a>b>0，∴a－b>0

9、，>1，∴()a－b>1，即aabb>abba.方法二　∵aabb－abba＝abbb(aa－b－ba－b)，∵a>b>0，∴a－b>0，∴aa－b>ba－b.又ab>0，bb>0，∴abbb(aa－b－ba－b)>0.∴aabb>abba.1．下面表示“a与b的差是非负数”的不等关系的是(　　)A．a－b>0　　　　　　B．a－b<0C．a－b≥0D．a－b≤0答案　C2．大桥桥头竖立的“限重40吨”的警示