高中数学 第二章 函数 2.1.3 函数的单调性学案 新人教B版必修.doc

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1、2.1.3　函数的单调性[学习目标]　1.了解函数单调性的概念，掌握判断简单函数单调性的方法.2.能用文字语言和数学符号语言描述增函数、减函数、单调性等概念，能准确理解这些定义的本质特点.[知识链接]1.x2－2x＋2＝(x－1)2＋1＞0；2.当x＞2时，x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)＞0；3.函数y＝x2－3x＋2的对称轴为x＝.[预习导引]1.增函数与减函数一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A，区间M⊆A.如果取区间M中的任意两个值x1，x2，改变量Δx＝x2－x1＞0，则当Δy＝f(x2)

2、－f(x1)＞0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是增函数，当Δy＝f(x2)－f(x1)＜0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是减函数.2.单调性与单调区间如果一个函数在某个区间M上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间M上具有单调性，区间M称为单调区间.要点一　函数单调性的判定与证明例1　求证：函数f(x)＝在(0，＋∞)上是减函数，在(－∞，0)上是增函数.证明　对于任意的x1，x2∈(－∞，0)，且x10，有Δy＝f(x2)－f(x1)＝－＝＝.∵x1

3、1－x2<0，x1＋x2<0，xx>0.∴Δy＝f(x2)－f(x1)>0.∴函数f(x)＝在(－∞，0)上是增函数.对于任意的x1，x2∈(0，＋∞)，且x10，x2＋x1>0，xx>0.∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2).∴函数f(x)＝在(0，＋∞)上是减函数.规律方法　利用定义证明函数单调性的步骤如下：(1)取值：设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1

4、过因式分解、通分、配方、有理化等手段，转化为易判断正负的式子；(3)定号：确定f(x1)－f(x2)的符号；(4)结论：根据f(x1)－f(x2)的符号及定义判断单调性.跟踪演练1　已知函数f(x)＝，证明：函数f(x)在(－1，＋∞)上为减函数.证明　任取x1，x2∈(－1，＋∞)，且x1＜x2.则f(x1)－f(x2)＝－＝.∵x2＞x1＞－1，∴x2－x1＞0，(x1＋1)(x2＋1)＞0，因此f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，所以f(x)在(－1，＋∞)上为减函数.要点二　求函

5、数的单调区间例2　画出函数y＝－x2＋2

6、x

7、＋1的图象并写出函数的单调区间.解　y＝即y＝函数的大致图象如图所示，单调增区间为(－∞，－1]，[0,1]，单调减区间为(－1,0)，(1，＋∞).规律方法　1.作出函数的图象，利用图形的直观性能快速判断函数的单调区间，但要注意图象一定要画准确.2.函数的单调区间是函数定义域的子集，在求解的过程中不要忽略了函数的定义域.3.一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接两个单调区间，而要用“和”或“，”连接.跟踪演练2　作出函数f(x)＝　的图象，

8、并指出函数的单调区间.解　f(x)＝　的图象如图所示.由图象可知：函数的单调减区间为(－∞，1]和(1,2]；单调递增区间为(2，＋∞).要点三　函数单调性的简单应用例3　已知函数f(x)＝，x∈[2,5].(1)判断该函数在区间[2,5]上的单调性，并给予证明；(2)求该函数在区间[2,5]上的最大值与最小值.解　(1)f(x)＝在区间[2,5]上是减函数.证明如下：任意取x1，x2∈[2,5]且x1＜x2，则f(x1)＝，f(x2)＝.f(x2)－f(x1)＝－＝.∵2≤x1＜x2≤5，∴x1－x2＜

9、0，x2－1＞0，x1－1＞0.∴f(x2)－f(x1)＜0，∴f(x2)＜f(x1).∴f(x)＝在区间[2,5]上是减函数.(2)由(1)可知f(x)＝在区间[2,5]上是递减的，故任意的x∈[2,5]均有f(5)≤f(x)≤f(2)，∴f(x)max＝f(2)＝＝2，f(x)min＝f(5)＝＝.规律方法　(1)运用函数单调性求最值是求解函数最值问题的重要方法，特别是当函数图象不好作或作不出来时，单调性几乎成为首选方法.(2)函数的最值与单调性的关系①若函数在闭区间[a，b]上是减函数，则f(x)在

10、[a，b]上的最大值为f(a)，最小值为f(b).②若函数在闭区间[a，b]上是增函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(b)，最小值为f(a).跟踪演练3　已知y＝f(x)在定义域(－1,1)上是减函数，且f(1－a)2a－1，即a<.②由①