高中数学 第二章 函数单元小结学案1 新人教B版必修.doc

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1、第二章函数复习巩固知识网络知识回顾1.函数由定义域、对应关系和值域三要素构成,其表示方法主要有解析法、图象法、列表法三种,解题时可根据需要而定.2.单调性、最大(小)值和奇偶性为函数的应用最广泛的三大性质,不仅是我们解决实际问题的基础,也是数学本身的自然要求.3.一次函数和二次函数数学模型是解决现实生活中问题的有力工具.4.二分法是求方程近似解的一种常用方法.典例精讲【例1】如图,用长为L的铁丝弯成下部为矩形,上部为半圆形的框架,若矩形底边长为2x,求此框架围成的面积y与x的函数关系式,并写出其定义域.思路分析：对“不

2、规则”图形的求积问题,常采用“割补法”化为“规则”图形的求积问题,本题可将框架分割成两部分:一个半圆、一个矩形.解:∵AB=2x,∴=πx,AD=.∴y=+2x·=+Lx.由得0

3、0

4、-2≤x≤2且x≠0},关于原点对称.又f(x)=,∴f(-x)==

5、=-f(x).故f(x)为奇函数.(2)∵函数f(x)的定义域为(-∞,+∞),当x>0时,-x<0,f(-x)=-x［1-(-x)］=-x(1+x)=-f(x);当x<0时,-x>0,f(-x)=-x(1-x)=-f(x);当x=0时,f(-0)=f(0)=0,即f(-x)=-f(x);综上,对任意x∈(-∞,+∞)均有f(-x)=-f(x),∴函数f(x)为奇函数.温馨提示(1)有些函数在判断奇偶性时,需先化简f(x)的表达式,观察其特点,然后再进行判断.(2)判断分段函数的奇偶性时必须判断每一段函数都具有f(-x

6、)=-f(x)或f(-x)=f(x)的特征,才能说明该函数的奇偶性.方法是在一个区间上设自变量,再向对称区间转化,并且应该进行双向验证,若函数在x=0有定义,还要对f(0)加以验证.总之,判断或证明分段函数的步骤对思维的有序性与叙述的条理性都提出了较高的要求.【例3】函数f(x)对任意的a、b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当x>0时,f(x)>1.(1)求证:f(x)是R上的增函数;(2)若f(4)=5,解不等式f(3m2-m-2)<3.思路分析：(1)是抽象函数单调性的证明,所以要用单调性定义.

7、(2)将函数不等式中抽象的函数符号“f”运用单调性“去掉”,为此需将右边常数3看成某个变量的函数值.(1)证明:设x1、x2∈R,且x10,∴f(x2-x1)>1.f(x2)-f(x1)=f［(x2-x1)+x1］-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1)=f(x2-x1)-1>0.∴f(x2)>f(x1),即f(x)是R上的增函数.(2)解:∵f(4)=f(2+2)=f(2)+f(2)-1=5,∴f(2)=3.∴原不等式可化为f(3m2-m-2)

8、的增函数,∴3m2-m-2<2.解之,得-1

9、函数f(x)=2x+3x-7的对应值表与图象(如图).x012345678y=2x+3x-7-6-2310214075142273观察图和表可知f(1)·f(2)<0,说明在区间(1,2)内有零点x0.取区间(1,2)的中点x1=1.5,用计算器可得f(1.5)≈0.33.∵f(1)·f(1.5)<0,∴x0∈(1,1.5).再取(1,1.5)的中点x2=1.25,用计算器可得f(1.25)≈-0.87.因此f(1.25)·f(1.5)<0,∴x0∈(1.25,1.5).同理,可得x0∈(1.375,1.5),x0∈(

10、1.375,1.4375).由

11、1.375-1.4375

12、=0.0625<0.1,此时区间(1.375,1.4375)的两个端点精确到0.1的近似值都是1.4,∴原方程精确到0.1的近似解为1.4.