高中数学 第二章 平面向量 2.3.1 平面向量基本定理学案（含解析）新人教A版必修.doc

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1、2．3.1　平面向量基本定理平面向量基本定理　　[提出问题]问题1：在物理中，我们学习了力的分解，即一个力可以分解为两个不同方向的力，试想：平面内的任一向量是否可以分解为其他两个向量的和？提示：可以．问题2：如果e1，e2是两个不共线的确定向量，那么与e1，e2在同一平面内的任一向量a能否用e1，e2表示？根据是什么？提示：可以．根据是数乘向量和平行四边形法则．问题3：如果e1，e2是共线向量，那么向量a能否用e1，e2表示？为什么？提示：不一定．当a与e1共线时可以表示，否则不能表示．[导入新知]平面向量基本定理条件e1，e2是同一平面内的两个不共线向量结

2、论这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2基底不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底[化解疑难]理解平面向量基本定理应关注的三点(1)只要是同一平面内两个不共线的向量都可作为一组基底，所以基底的选取不唯一．(2)零向量与任一向量都共线，因此零向量不能作为基底．(3)λ1，λ2是唯一的.两向量的夹角[提出问题]问题1：平面中的任意两个向量都可以平移至公共起点，它们存在夹角吗？提示：存在．问题2：若上题中的结论为存在夹角，向量的夹角与直线的夹角一样吗？提示：不一样．[导入新知]向量的夹角条件两个非零向量a和

3、b产生过程作向量＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角范围[0，π]特殊情况θ＝0°a与b同向θ＝90°a与b垂直，记作a⊥bθ＝180°a与b反向[化解疑难]正确理解向量的夹角(1)向量夹角的几何表示：依据向量夹角的定义，两非零向量的夹角是将两个向量的起点移到同一点，这样它们所成的角才是两向量的夹角．如图①②③④⑤，已知两向量a，b，作＝a，＝b，则∠AOB为a与b的夹角．(2)注意事项：①向量的夹角是针对非零向量定义的．②向量的夹角和直线的夹角范围是不同的，它们分别是[0，π]和.用基底表示向量[例1]　如图，梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝2C

4、D，M，N分别是DC，AB的中点，若＝a，＝b，试用a，b表示，，.[解]　如图所示，连接CN，则四边形ANCD是平行四边形．则＝＝＝a；＝－＝－＝b－a；＝－＝－－＝－－＝a－b.[类题通法]用基底表示向量的方法将两个不共线的向量作为基底表示其他向量，基本方法有两种：一种是运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至用基底表示为止；另一种是通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一性求解．[活学活用]如图所示，已知在▱ABCD中，E，F分别是BC，DC边的中点．若＝a，＝b，试用a，b为基底表示向量，.答案：＝a－b；＝b－a向量夹角的简单

5、求解[例2]　已知

6、a

7、＝

8、b

9、＝2，且a与b的夹角为60°，则a＋b与a的夹角是多少？a－b与a的夹角又是多少？[解]　如图所示，作＝a，＝b，且∠AOB＝60°.以，为邻边作平行四边形OACB，则＝a＋b，＝a－b.因为

10、a

11、＝

12、b

13、＝2，所以平行四边形OACB是菱形．又因为∠AOB＝60°，所以与的夹角为30°，与的夹角为60°.即a＋b与a的夹角是30°，a－b与a的夹角是60°.[类题通法]求两个向量夹角的方法求两个向量的夹角，关键是利用平移的方法使两个向量的起点重合，根据向量夹角的概念确定夹角，再依据平面图形的知识求解向量的夹角．过程简记为“一作

14、二证三算”．[活学活用]如图，已知△ABC是等边三角形．(1)求向量与向量的夹角；(2)若E为BC的中点，求向量与的夹角．答案：(1)120°　(2)90°平面向量基本定理的唯一性及其应用[例3]　(1)设向量e1与e2不共线，若3xe1＋(10－y)e2＝(4y－7)e1＋2xe2，则实数x，y的值分别为(　　)A．0,0　　　　　　　　　　B．1,1C．3,0D．3,4(2)在▱ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点．若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，求λ＋μ的值．[解]　(1)D(2)设＝a，＝b，则＝a＋b，＝b＋a，＝a＋b，所以＝λ＋μ＝λ＋μ＝b

15、＋a＝a＋b.又因为a，b不共线，所以解得λ＝μ＝，所以λ＋μ＝.[类题通法]1．平面向量基本定理唯一性的应用设a，b是同一平面内的两个不共线向量，若x1a＋y1b＝x2a＋y2b，则2．重要结论设e1，e2是平面内一组基底，当λ1e1＋λ2e2＝0时恒有λ1＝λ2＝0若a＝λ1e1＋λ2e2当λ2＝0时，a与e1共线当λ1＝0时，a与e2共线λ1＝λ2＝0时，a＝0[活学活用]若向量a，b不共线，且c＝2a－b，d＝3a－2b，试判断c，d能否作为基底．答案：c，d能作为基底．　　　　5．平面向量基本定理的应用　　[典例]　(12分)如图，在△ABC中，点

16、M是边BC的中点，点N在边AC上，且AN＝2NC，A