高中数学 第二章 数列 2.3.2 等比数列的前n项和（一）学案 新人教B版必修.doc

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1、2.3.2　等比数列的前n项和(一)[学习目标]　1.掌握等比数列的前n项和公式及公式推导思路.2.会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题．[知识链接]1．求等差数列前n项和用的是倒序相加法，对于等比数列{an}，当q≠1，Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1＝a1＋q(a1＋a1q＋…＋a1qn－1－a1qn－1)＝a1＋q(Sn－a1qn－1)，至此，你能用a1和q表示出Sn吗？答　由Sn＝a1＋q(Sn－a1qn－1)，得(1－q)Sn＝a1－a1qn.所以Sn＝.2．在等比数列{an}中，若q≠1，则有＝＝＝…＝＝q.由等

2、比性质，得＝q，至此你能用a1和q表示出Sn吗？答　由＝q，得＝q，于是Sn＝＝.[预习导引]1．等比数列前n项和公式：(1)公式：Sn＝(2)注意：应用该公式时，一定不要忽略q＝1的情况．2．等比数列前n项和公式的变式若{an}是等比数列，且公比q≠1，则前n项和Sn＝(1－qn)＝A(qn－1)．其中A＝.3．错位相减法推导等比数列前n项和的方法叫错位相减法．一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n项和.要点一　前n项和公式基本量的运算例1　在等比数列{an}中，(1)若q＝2，S4＝1，求S8；(2)若a1＋a3＝10，a4＋a6＝，求a4

3、和S5.解　(1)方法一　设首项为a1，∵q＝2，S4＝1，∴＝1，即a1＝，∴S8＝＝＝17.方法二　∵S4＝＝1，且q＝2，∴S8＝＝(1＋q4)＝S4·(1＋q4)＝1×(1＋24)＝17.(2)设公比为q，由通项公式及已知条件得即∵a1≠0,1＋q2≠0，∴②÷①得，q3＝，即q＝，∴a1＝8.∴a4＝a1q3＝8×()3＝1，S5＝＝＝.规律方法　(1)在等比数列{an}的五个量a1，q，an，n，Sn中，已知其中的三个量，通过列方程组求解，就能求出另两个量，这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用．(2)在解决与前n项和有关的问题时，首先要对公比

4、q＝1或q≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论．跟踪演练1　若等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，则公比q＝________；前n项和Sn＝________.答案　2　2n＋1－2解析　设等比数列{an}的公比为q，因为a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，所以解得所以Sn＝＝＝2n＋1－2.要点二　错位相减法求和例2　求和：Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn(x≠0)．解　分x＝1和x≠1两种情况．当x＝1时，Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝.当x≠1时，Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn，xSn＝x2＋2x3＋3x4＋…＋(n－

5、1)xn＋nxn＋1，∴(1－x)Sn＝x＋x2＋x3＋…＋xn－nxn＋1＝－nxn＋1.∴Sn＝－.综上可得Sn＝规律方法　一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{anbn}的前n项和时，可采用错位相减法．跟踪演练2　求数列1,3a,5a2,7a3，…，(2n－1)·an－1的前n项和．解　(1)当a＝0时，Sn＝1.(2)当a＝1时，数列变为1,3,5,7，…，(2n－1)，则Sn＝＝n2.(3)当a≠1且a≠0时，有Sn＝1＋3a＋5a2＋7a3＋…＋(2n－1)an－1.①aSn＝a＋3a2＋5a3＋7a4＋…＋(2n－1)

6、an.②①－②得Sn－aSn＝1＋2a＋2a2＋2a3＋…＋2an－1－(2n－1)an，(1－a)Sn＝1－(2n－1)an＋2(a＋a2＋a3＋a4＋…＋an－1)＝1－(2n－1)an＋2·＝1－(2n－1)an＋，又1－a≠0，∴Sn＝＋.综上，Sn＝要点三　等比数列前n项和的综合应用例3　借贷10000元，月利率为1%，每月以复利计息，王老师从借贷后第二个月开始等额还贷，分6个月付清，试问每月应支付多少元(1.016≈1.061,1.015≈1.051)?解　方法一　设每个月还贷a元，第1个月后欠款为a0元，以后第n个月还贷a元后，还剩下欠款an元

7、(1≤n≤6)，则a0＝10000，a1＝1.01a0－a，a2＝1.01a1－a＝1.012a0－(1＋1.01)a，…a6＝1.01a5－a＝…＝1.016a0－[1＋1.01＋…＋1.015]a.由题意，可知a6＝0，即1.016a0－[1＋1.01＋…＋1.015]a＝0，a＝.因为1.016≈1.061，所以a≈≈1739(元)．故每月应支付1739元．方法二　一方面，借款10000元，将此借款以相同的条件存储6个月，则它的本利和为S1＝104(1＋0.01)6＝104×(1.01)6(元)．另一方面，设每个月还贷a元，分6个月还清，到贷款还清时，

8、其本利和为S2＝a(1＋0.01)5＋a(1＋0.0