高中数学 第二讲 证明不等式的基本方法 2.3 反证法与放缩法知识导学案 新人教A版选修.doc

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1、三反证法与放缩法知识梳理1.反证法先____________,以此为出发点,结合已知条件,应用公理,定义,定理,性质等,进行正确的推理,得到和命题的条件(或已知证明的定理,性质,明显成立的事实等)_________的结论,以说明_________不正确,从而证明原命题成立,我们称这种证明问题的方法为反证法.2.放缩法证明不等式时,通常把不等式中的某些部分的值_________或_________,简化不等式,从而达到证明的目的.我们把这种方法称为放缩法.知识导学1.用反证法证明不等式必须把握以下几点：(1)必须否定结论,即肯定结论的反面,当结论的反面呈现多样性时,必须罗列出各

2、种情况,缺少任何一种可能,反证法都是不完全的.(2)反证法必须从否定结论进行推理,即应把结论的反面作为条件,且必须根据这一条件进行推证.否则,仅否定结论,不从结论的反面出发进行推理,就不是反证法.(3)推导出的矛盾可能多种多样,有的与已知矛盾,有的与假设矛盾,有的与已知事实相违背等等.推导出的矛盾必须是明显的.(4)在使用反证法时,“否定结论”在推理论证中往往作为已知使用,可视为已知条件.2.放缩法多借助于一个或多个中间量进行放大或缩小,如欲证A≥B,需通过B≤B1,B1≤B2≤…≤Bi≤A(或A≥A1,A1≥A2≥…≥Ai≥B)，再利用传递性，达到证明的目的.疑难突破1.反

3、证法中的数学语言反证法适宜证明“存在性问题,唯一性问题”,带有“至少有一个”或“至多有一个”等字样的问题,或者说“正难则反”,直接证明有困难时,常采用反证法,下面我们列举一下常见的涉及反证法的文字语言及其相对应的否定假设.常见词语至少有一个至多有一个唯一一个不是不可能全都是否定假设一个也没有有两个或两个以上没有或有两个以上是有或存在不全不都是对某些数学语言的否定假设要准确,以免造成原则性的错误,有时在使用反证法时,对假设的否定也可以举一定的特例来说明矛盾,尤其在一些选择题中,更是如此.2.放缩法的尺度把握等问题(1)放缩法的理论依据主要有:①不等式的传递性;②等量加不等量为不

4、等量;③同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较;④基本不等式与绝对值不等式的基本性质;⑤三角函数的有界性等.(2)放缩法使用的主要方法:放缩法是不等式证明中最重要的变形方法之一,放缩必须有目标,而且要恰到好处,目标往往要从证明的结论考察.常用的放缩方法有增项,减项,利用分式的性质,利用不等式的性质,利用已知不等式,利用函数的性质进行放缩等.比如:舍去或加上一些项:(a+)2+>(a+)2;将分子或分母放大(缩小):(k∈R,k>1)等.典题精讲【例1】(经典回放)若a3+b3=2,求证:a+b≤2.思路分析：本题结论的反面比原结论更具体,更简洁,宜用反证法.证法一：

5、假设a+b>2,a2-ab+b2=(ab)2+b2≥0.而取等号的条件为a=b=0，显然不可能，∴a2-ab+b2>0.则a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)>2(a2-ab+b2),而a3+b3=2,故a2-ab+b2<1.∴1+ab>a2+b2≥2ab.从而ab<1.∴a2+b2<1+ab<2.∴(a+b)2=a2+b2+2ab<2+2ab<4.∴a+b<2.这与假设矛盾,故a+b≤2.证法二:假设a+b>2,则a>2-b,故2=a3+b3>(2-b)3+b3,即2>8-12b+6b2,即(b-1)2<0,这不可能,从而a+b≤2.证法三:假设a+b>2,则(a+b

6、)3=a3+b3+3ab(a+b)>8.由a3+b3=2,得3ab(a+b)>6.故ab(a+b)>2.又a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=2,∴ab(a+b)>(a+b)(a2-ab+b2).∴a2-ab+b2

7、a

8、<1,

9、b

10、<1,求证:<1.思

11、路分析：本题由已知条件不易入手证明,而结论也不易变形,即直接证有困难,因而可联想反证法.证明:假设≥1,则

12、a+b

13、≥

14、1+ab

15、,∴a2+b2+2ab≥1+2ab+a2b2.∴a2+b2-a2b2-1≥0.∴a2-1-b2(a2-1)≥0.∴(a2-1)(1-b2)≥0.∴即与已知矛盾.∴<1.【例2】(经典回放)已知a,b,c∈(0,1),求证:(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不能同时大于.思路分析：“不能同时”包含情况较多,而其否定“同时大于”仅有一种情况,因此用反证法.证法一：假设三式同