高中数学第1章导数及其应用1.3.1单调性学案苏教版选修.doc

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1、1.3.1 单调性1.利用导数研究函数的单调性.(重点)2.含有字母参数的函数单调性的讨论,单调区间的求解.(难点)3.由单调性求参数的取值范围.(易错点)[基础·初探]教材整理 函数的单调性与其导数的关系阅读教材P28“例1”以上部分,完成下列问题.1.函数的单调性与其导数的关系(1)一般地,在某区间上函数y=f(x)的单调性与导数有如下关系:导数函数的单调性f′(x)>0f(x)为该区间上的增函数f′(x)<0f(x)为该区间上的减函数(2)如果在区间(a,b)内恒有f′(x)=0,则y=f(x)在这个区间内是常数函数.2

2、.导数与函数图象间的关系(1)导函数图象在x轴上方的区间为原函数的单调增区间,导函数图象在x轴下方的区间为原函数的单调减区间.(2)一般地,如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大,那么函数在这个范围内变化得快,这时,函数的图象就比较“陡峭”;反之,函数的图象就“平缓”一些.1.判断正误:(1)若函数f(x)在(a,b)上是增函数,则对任意x∈(a,b),都有f′(x)>0.(  )(2)函数f(x)=在其定义域上是单调减函数.(  )(3)函数f(x)=x3-2x在(1,+∞)上单调递增.(  )(4)若存在x∈(a,b)有

3、f′(x)=0成立,则函数f(x)为常数函数.(  )【答案】 (1)× (2)× (3)√ (4)×2.函数f(x)=(x-3)ex的单调递增区间是________.【解析】 f′(x)=(x-3)′ex+(x-3)(ex)′=(x-2)ex,令f′(x)>0,解得x>2.【答案】 (2,+∞)[质疑·手记]预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流:疑问1:_______________________________________________解惑:____________________________

4、___________________疑问2:_______________________________________________解惑:_______________________________________________疑问3:_______________________________________________解惑:_______________________________________________[小组合作型]判断(证明)函数的单调性 (1)求证:函数f(x)=ex-x-1在(0,+∞

5、)内是增函数,在(-∞,0)内是减函数.(2)判断函数f(x)=在区间(0,2)上的单调性.【精彩点拨】 求出导数f′(x),然后判断导数的符号即可.【自主解答】 (1)证明:由于f(x)=ex-x-1,所以f′(x)=ex-1,当x∈(0,+∞)时,ex>1,即f′(x)=ex-1>0.故函数f(x)在(0,+∞)内为增函数,当x∈(-∞,0)时,ex<1,即f′(x)=ex-1<0.故函数f(x)在(-∞,0)内为减函数.(2)由于f(x)=,所以f′(x)==.由于00.故f′(x

6、)=>0.∴函数f(x)在区间(0,2)上是单调递增函数.1.利用导数证明函数f(x)在给定区间上的单调性,实质上就是证明f′(x)>0(或f′(x)<0)在给定区间上恒成立.2.利用导数判断可导函数f(x)在(a,b)内的单调性,步骤是:(1)求f′(x);(2)确定f′(x)在(a,b)内的符号;(3)得出结论.[再练一题]1.证明:函数y=lnx+x在其定义域内为增函数.【证明】 显然函数的定义域为{x

7、x>0},又f′(x)=(lnx+x)′=+1,当x>0时,f′(x)>1>0,故y=lnx+x在其定义域内为增函数.

8、求函数的单调区间 求下列函数的单调区间:(1)f(x)=x2-lnx;(2)f(x)=;(3)f(x)=-x3+3x2.【精彩点拨】 首先确定函数的定义域,再求导数,进而解不等式得单调区间.【自主解答】 (1)函数f(x)的定义域为(0,+∞).f′(x)=2x-=.因为x>0,所以x+1>0,由f′(x)>0,解得x>,所以函数f(x)的单调递增区间为;由f′(x)<0,解得x<,又x∈(0,+∞),所以函数f(x)的单调递减区间为.(2)函数f(x)的定义域为(-∞,2)∪(2,+∞).f′(x)==.因为x∈(-∞,2)

9、∪(2,+∞),所以ex>0,(x-2)2>0.由f′(x)>0,解得x>3,所以函数f(x)的单调递增区间为(3,+∞);由f′(x)<0,解得x<3,又x∈(-∞,2)∪(2,+∞),所以函数f(x)的单调递减区间为(-∞,2)和(2,3).(3)函数f(x)的定义域为R

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