高中数学第二章 随机变量及其分布2.4正态分布学案新人教A版选修.doc

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1、2．4　正态分布[学习目标]1．利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．2．了解变量落在区间(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ]的概率大小．3．会用正态分布去解决实际问题．[知识链接]1．在频率分布直方图中，纵坐标的含义是，用小矩形的面积表示数据落在该组中的频率，在折线图中，随着分组越来越多，其越来越接近于一条光滑的曲线．2．正态曲线φμ，σ(x)＝e－，x∈R中的参数μ，σ有何意义？答　μ可取任意实数，表示平均水平的特征数，E(X)＝μ；σ>0表示标准差，D(X)＝σ2.一个正态曲线方程由μ，σ唯一确定，π和e为常数，x为自变

2、量，x∈R.3．若随机变量X～N(μ，σ2)，则X是离散型随机变量吗？答　若X～N(μ，σ2)，则X不是离散型随机变量，由正态分布的定义：P(a＜X≤b)＝φμ，σ(x)dx可知，X可取(a，b]内的任何值，故X不是离散型随机变量，它是连续型随机变量．[预习导引]1．正态曲线函数φμ，σ(x)＝e－，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ(σ>0)为参数，φμ，σ(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．2．正态分布如果对于任何实数a，b(a

3、，σ2)，如果随机变量X服从正态分布，则记为X～N(μ，σ2)．3．正态曲线的性质正态曲线φμ，σ(x)＝e－，x∈R有以下性质：(1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交；(2)曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；(3)曲线在x＝μ处达到峰值；(4)曲线与x轴之间的面积为1；(5)当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图①；(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图②.4．正态总体在三个特殊区间内取值的概率值P(μ－σ

4、＋2σ)＝0.954_4；P(μ－3σ

5、函数的最大值为.求该正态分布的概率密度函数的解析式．解　由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数，所以其图象关于y轴对称，即μ＝0.由于＝，得σ＝4，故该正态分布的概率密度函数的解析式是φμ，σ(x)＝e－，x∈(－∞，＋∞)．要点二　利用正态分布求概率例2　设ξ～N(1，22)，试求：(1)P(－1＜ξ≤3)；(2)P(3＜ξ≤5)；(3)P(ξ≥5)．解　∵ξ～N(1，22)，∴μ＝1，σ＝2，(1)P(－1＜ξ≤3)＝P(1－2＜ξ≤1＋2)＝P(μ－σ＜ξ≤μ＋σ)＝0.6826(2)∵P(3＜ξ≤5)＝P(－3＜ξ≤－1)，∴P(3＜ξ≤5)＝[P(－3＜ξ≤5)－P(－

6、1＜ξ≤3)]＝[P(1－4＜ξ≤1＋4)－P(1－2＜ξ≤1＋2)]＝[P(μ－2σ＜x≤μ＋2σ)－P(μ－σ＜x≤μ＋σ)]＝(0.9544－0.6826)＝0.1359.(3)P(ξ≥5)＝P(ξ≤－3)＝[1－P(－3＜ξ≤5)]＝[1－P(1－4＜ξ≤1＋4)]＝[1－P(μ－2σ＜ξ≤μ＋2σ)]＝(1－0.9544)＝0.0228.规律方法　解答此类题目的关键在于充分利用正态曲线的对称性，把待求区间内的概率向已知区间内的概率进行转化，在此过程中充分体现数形结合及化归的数学思想．经常用到如下转换公式：①P(x≥a)＝1－P(x＜a)；②若b＜μ，则P(X＜b)＝.跟踪

7、演练2　若η～N(5，1)，求P(5＜η＜7)．解　∵η～N(5，1)，∴正态分布密度函数的两个参数为μ＝5，σ＝1，因为该正态曲线关于x＝5对称，∴P(5＜η＜7)＝×P(3＜η＜7)＝×0.9544＝0.4772.　要点三　正态分布的实际应用例3　设在一次数学考试中，某班学生的分数X～N(110，202)，且知试卷满分150分，这个班的学生共54人，求这个班在这次数学考试中及格(即90分以上)的人数和130分以上的人数．解　μ＝110，σ＝20，P(X≥90)＝P