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《高考数学一轮复习 空间角和距离导学案 文.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、吉林省东北师范大学附属中学2015届高考数学一轮复习空间角和距离导学案文一、知识梳理1．异面直线所成的角：（1）定义：过空间上一点P（注意取图形中的特殊点）作、，则与所成的锐角或直角就叫做异面直线所成的角范围。（2）范围：（3）求法：平移法：2．直线与平面所成的角：（1）定义：若直线是平面的斜线，其求法是：找出直线在平面内的射影，则锐角就是直线与平面所成的角。若或，则直线与平面所成的角为；若，则直线与平面所成的角为；（2）范围：（3）求法：定义法；3．二面角：（1）、定义法：在棱上任取一点，过这点在两个面内分别引棱的垂线，这两条射线所成的角就是二面角
2、的平面角。（注意二面角的五个条件）（3）、作棱的垂面法:自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角的两条射线所成的角就是二面角的平面角。（4）、投影法：利用s投影面=s被投影面这个公式对于斜面三角形，任意多边形都成立，是求二面角的好方法。尤其对无棱问题4．空间的距离点到平面的距离求法：（1）直接法：过点作平面的垂线，垂足，则是点到平面的距离；（2）等体积法：利用三棱锥的体积相等，求点到平面的距离。（3）转移法：图1图2解法1：用公式当直线AB平面，AB与所成的角为，l是内的一条直线，l与AB在内的射影所成的角为，则异面直线l与AB所成的角满足。以此为据求解
3、，由题意，知平面ABC，，由三垂线定理，知，所以平面SAC。因为，由勾股定理，得。在中，，在中，。设SC与AB所成角为，则，解法2：平移过点C作CD//BA，过点A作BC的平行线交CD于D，连结SD，则是异面直线SC与AB所成的角，又四边形ABCD是平行四边形。由勾股定理，得：。在中，由余弦定理，得：。点评：若不垂直，可经过如下几个步骤求解：（1）恰当选点，作两条异面直线的平行线，构造平面角；（2）证明这个角（或其补角）就是异面直线所成角；（3）解三角形（常用余弦定理），求出所构造角的度数[题型二]线面角（1）．直接法：平面的斜线与斜线在平面内的射影
4、所成的角即为直线与平面所成的角。通常是解由斜线段，垂线段，斜线在平面内的射影所组成的直角三角形，垂线段是其中最重要的元素，它可以起到联系各线段的作用。例1（如图1）四面体ABCS中，SA,SB,SC两两垂直，∠SBA=45°,∠SBC=60°,M为AB的中点，求（1）BC与平面SAB所成的角。（2）SC与平面ABC所成的角。解:（1）∵SC⊥SB,SC⊥SA,图1∴SC⊥平面SAB故SB是斜线BC在平面SAB上的射影，∴∠SBC是直线BC与平面SAB所成的角为60°。（2）连结SM,CM，则SM⊥AB,又∵SC⊥AB,∴AB⊥平面SCM,∴面ABC⊥
5、面SCM过S作SH⊥CM于H,则SH⊥平面ABC∴CH即为SC在面ABC内的射影。∠SCH为SC与平面ABC所成的角。sin∠SCH=SH／SC∴SC与平面ABC所成的角的正弦值为√7／7（“垂线”是相对的，SC是面SAB的垂线，又是面ABC的斜线.作面的垂线常根据面面垂直的性质定理，其思路是：先找出与已知平面垂直的平面，然后一面内找出或作出交线的垂线，则得面的垂线。）（2）.利用公式sinθ=h／ι其中θ是斜线与平面所成的角，h是垂线段的长，ι是斜线段的长，其中求出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可用三棱锥的体积自等来求垂
6、线段的长。例2（如图2）长方体ABCD-A1B1C1D1,AB=3,BC=2,A1A=4，求AB与面AB1C1D所成的角。解：设点B到AB1C1D的距离为h,∵VB﹣AB1C1=VA﹣BB1C1∴1／3S△AB1C1·h=1／3S△BB1C1·AB，易得h=12／5设AB与面AB1C1D所成的角为θ,则sinθ=h／AB=4／5图2∴AB与面AB1C1D所成的角为arcsin4／5例3（如图4）已知直线OA,OB,OC两两所成的角为60°,，求直线OA与面OBC所成的角的余弦值。解：∵∠AOB=∠AOC∴OA在面OBC内的射影在∠BOC的平分线OD上
7、，则∠AOD即为OA与面OBC所成的角，可知∠DOC=30°,cos∠AOC=cos∠AOD·cos∠DOC∴cos60°=cos∠AOD·cos30°∴cos∠AOD=√3／3∴OA与面OBC所成的角的余弦值为√3／3。图4[题型探究三]：二面角：例4．（2009重庆卷文）（本小题满分13分，（Ⅰ）问7分，（Ⅱ）问6分）如题（18）图，在五面体中，∥，，，四边形为平行四边形，平面，．求：二面角的平面角的正切值．解法一:由己知，平面，得AD，又由，知，故平面ABFE，所以，为二面角的平面角，记为.在中,,由得,,从而在中,,故所以二面角的平面角的正切
8、值为.点评：线面距离往往转化成点面距离来处理，最后可能转化为空间几何体的体积求得，体积法不用得到垂线。[题型
