平衡点相轨线.doc

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1、平衡点(奇点)(0，0)的结构与特征方程＝0的根λ1、λ2密切相关。当时，可经非退化的线性变换将上方程所对应的线性方程凧=αx+by,夻=сx+dy化为标准型,将变换后的变量仍以x,y表示，则线性方程奇点的结构可化为下列几种情形：①λ1与λ2为同号实根，奇点(0,0)叫结点。从结点的充分小邻域内出发的任何轨线都沿确定方向无限趋近它(当t→+或t→-,视λ1和λ2为负或为正而定)。若λ1≠λ2，方程可化为凧=λ1x,夻=λ2y,以0>λ1>λ2为例,其图形为图1之a。若λ1=λ2,且初等因子是单的，方程同(α),以λ1<0为例，其图形如图

2、1之b。若λ1=λ2,且初等因子是重的，方程可化为f1=λ1x,g1=-x+λ1y，其图形如图1之c。　　②λ1与λ2为异号实根，奇点(0,0)叫鞍点。从鞍点的充分小邻域内出发的轨线，有二条当t→+时沿确定方向无限趋近它，而另有二条当t→-时沿确定方向无限趋近它，这四条轨线叫做分界线，其余轨线都双侧离开此邻域。这时方程如①中λ1≠λ2的情形，以λ1>0>λ2为例，其图形如图1之d。　　③λ1,2=α±iβ，α，β≠0,奇点（0,0）叫焦点。从焦点充分小邻域出发的轨线都螺旋形地无限趋近它（当t→+或t→-,视α为负或为正而定）。此时方程可

3、化为f1=αx+βy，g1=-βx+αy。以α<0、β>0为例，其图形如图1之e。　　④当λ1,2=±iβ,β≠0,奇点(0,0)叫中心。在中心的充分小邻域内都是围绕中心的闭轨线（如图1之f）。加上高次项P1和Q1后，当P1和Q1是x、y的解析函数时,奇点(0,0)或是中心或是焦点。中心和焦点的判别一般来说需要进行无限步的代数运算或积分运算。　　综上所述，平面线性系统的孤立奇点不计时间走向共有三种不同拓扑结构:中心、鞍点、焦结和结点;后两者的拓扑结构相同，即其图形只差一个拓扑变换。