线性代数二次型.doc

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1、二次型与对称矩阵一、二次型及其矩阵1定义：含有个变量的二次齐次函数：　称为二次型。　　　　为便于用矩阵讨论二次型，令，则二次型为：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　令，　　，则　，且为对称矩阵。　　　　由于对称矩阵与二次型是一一对应关系，故称对称矩阵为二次型的矩阵，也称二次型为对称矩阵的二次型，也称为二次型的秩。例1设试求二次型矩阵.解,,,,,.于是得，例2已知三阶矩阵和向量,其中,.求二次型的矩阵.解由于不是对称矩阵,故不是二次型的矩阵.因为,故此二次型的矩阵为.二、线性变换1　标准形　　定义

2、：形如的二次型称为二次型的标准形。显然：其矩阵为对角阵。1线性变换定义：关系式称为由变量到变量的一个线性变量替换，简称线性变换。矩阵称为线性变换的矩阵。记，，则线性变换可用矩阵形式表示为：若，称线性变换为满秩（线性）变换（或非退化变换），否则，称为降秩（线性）变换（或退化变换）。，其中，而若线性变换是非退化的，便有：三、矩阵的合同1定义：设，为阶方阵，如果存在阶可逆矩阵，使得，则称矩阵与合同。容易知道：二次型的矩阵与经过非退化线性变换得到的矩阵是合同的。2合同的性质①反身性：任一方阵都与它自己合同②对称性：如果方阵与合

3、同，那么也与合同③传递性：如果方阵与合同，与合同，那么与合同3定理：若矩阵与合同，则与等价，且。4定理：任何一个实对称矩阵都合同于一个对角阵（是以的个特征根为对角元的对角阵）。即存在可逆矩阵，使得。化二次型为标准形一、正交变换法定理：任给二次型，总有正交变换使化为标准形：（其中是对称矩阵的特征根）　　例：　求一个正交变换，化二次型为标准形。　　解：二次型的矩阵为：　　　　由，求得的特征根为：，，　　　　特征根对应的特征向量为：；　　　　特征根对应的特征向量为：　　　　显然与都正交，但不正交。　　正交化：取，　再将单位化

4、，得　　　于是正交线性变换为：　　　使原二次型化为：　　　注意：二次型的标准形并不唯一，这与施行的正交线性变换有关。二、配方法对任意一个二次型，也可用配方法找到满秩变换，化二次型为标准形。　1　二次型中含有平方项　例：化二次型为标准形，并求出所用的变换矩阵。解　　　　　　　　　　令　，即令，则，所求的满秩变换为，即，则原二次型化为标准形：　2　二次型中不含平方项　例：用配方法化二次型为标准形，并求出所用的满秩线性变换。　解：令，则原二次型化为：　　　　再按前例的方法有：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

5、　　　　　令，　则原二次型化为：　　　　其中的满秩变换为两变换的合成，即：　　　由第一次变换得：　　　　　由第二次变换得：　　　　所以有合成的满秩变换为：　　　　　　　　即　　　　　三、初等变换法由于任一二次型都可以找到满秩线性变换将其化为标准形，即存在可逆矩阵，使为对角阵；由于可逆，可以写成一系列初等矩阵的乘积，即存在初等矩阵，使。则，所以①②①表示对实对称矩阵施行初等列变换，同时也施行同种的初等行变换，将化为对角阵，②表示单位矩阵在相同的初等列变换下就化为例：用初等变换法化二次型为标准形，并求出相应的满秩线性变换。

6、解：二次型的矩阵：，所以，原二次型化为惯性定理和二次型的正定性一、惯性定理和规范形在二次型的标准形中，将带正号的项与带负号的项相对集中，使标准形为如下形式：再令线性变换：，则原二次型化为：定义：形如上式的标准形称为二次型的规范形。定义：称规范形中正项的个数称为二次型的正惯性指标，负项个数称为二次型的负惯性指标，是二次型的秩。注：规范形是由二次型所唯一决定的，与所作的非退化线性变换无关。虽然二次型的标准形不唯一，但是其规范形是唯一的。定理：任一实二次型都可以经过满秩变换化为规范形，且规范形唯一。因而，对任一实对称矩阵，都

7、存在满秩矩阵，使，称为的（合同）规范形。定理：实对称矩阵与合同的充分必要条件是与有相同的规范形，其正惯性指标和秩相等。矩阵合同的性质(1)任一对称矩阵都存在对角矩阵与它合同;(2)与对称矩阵合同的矩阵必定是对称矩阵;(3)两个实对称矩阵合同的充要条件①有相同的秩,②有相同的正惯性指数.二、二次型的正定性1、正(负)定二次型的概念定义：设实二次型，若对任意不全为零的实数，总有，则称为正(负)定二次型，并称对称矩阵为正(负)定矩阵，记作。定义：若对任意不全为零的实数，总有，则称实二次型为半正(负)定二次型，其矩阵为半正(负

8、)定矩阵。2、判定方法定理：若是阶实对阵矩阵，则下列命题等价：（1）是正定二次型（或A是正定矩阵）；（2）的个特征值全为正；（3）的标准形的个系数全为正；（4）的正惯性指数为；（5）与单位矩阵合同（或为的规范形）;(6)存在可逆矩阵，使得;(7)的各阶顺序主子式均为正，即。定理：若是阶实对阵矩阵，则下列命题等价：（1）是负定二次型