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《2019届人教数学A版空间中的平行与空间角 单元测试Word版含解析 .doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、专题突破练15 空间中的平行与空间角1.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面ACC1A1⊥底面ABC,∠A1AC=60°,AC=2AA1=4,点D,E分别是AA1,BC的中点.(1)证明:DE∥平面A1B1C;(2)若AB=2,∠BAC=60°,求直线DE与平面ABB1A1所成角的正弦值.2.(2018河南安阳一模,理19)如图,在空间直角坐标系O-xy中,正四面体(各条棱均相等的三棱锥)ABCD的顶点A,B,C分别在x轴,y轴,轴上.(1)求证:CD∥平面OAB;(2)求二面角C-AB-D的余
2、弦值.3.如图,四棱锥P-ABCD中,侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC=AD,∠BAD=∠ABC=90°,E是PD的中点.(1)证明:直线CE∥平面PAB;(2)点M在棱PC上,且直线BM与底面ABCD所成角为45°,求二面角M-AB-D的余弦值.4.(2018江苏盐城模拟,25)如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=4,AB=2,点M是BC的中点.(1)求异面直线AC1与DM所成角的余弦值;(2)求直线AC1与平面AD1M所成角的正弦值.5.如图,在四棱锥P-A
3、BCD中,底面ABCD为正方形,平面PAD⊥平面ABCD,点M在线段PB上,PD∥平面MAC,PA=PD=,AB=4.(1)求证:M为PB的中点;(2)求二面角B-PD-A的大小;(3)求直线MC与平面BDP所成角的正弦值.6.(2018江苏卷,22)如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1=2,点P,Q分别为A1B1,BC的中点.(1)求异面直线BP与AC1所成角的余弦值;(2)求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值.7.如图1,在边长为2的菱形ABCD中,∠BAD=60°,将△BCD
4、沿对角线BD折起到△BC'D的位置,使平面BC'D⊥平面ABD,E是BD的中点,FA⊥平面ABD,且FA=2,如图2.(1)求证:FA∥平面BC'D;(2)求平面ABD与平面FBC'所成角的余弦值;(3)在线段AD上是否存在一点M,使得C'M⊥平面FBC'?若存在,求的值;若不存在,请说明理由.参考答案专题突破练15 空间中的平行与空间角1.(1)证明取AC的中点F,连接DF,EF,∵E是BC的中点,∴EF∥AB.∵ABC-A1B1C1是三棱柱,∴AB∥A1B1,∴EF∥A1B1,∴EF∥平面A1B1
5、C.∵D是AA1的中点,∴DF∥A1C,∴DF∥平面A1B1C.又EF∩DF=F,∴平面DEF∥平面A1B1C,∴DE∥平面A1B1C.(2)解过点A1作A1O⊥AC,垂足为O,连接OB,∵侧面ACC1A1⊥底面ABC,∴A1O⊥平面ABC,∴A1O⊥OB,A1O⊥OC.∵∠A1AC=60°,AA1=2,∴OA=1,OA1=AB=2,∠OAB=60°,由余弦定理得OB2=OA2+AB2-2OA·AB·cos∠BAC=3,∴OB=,∴∠AOB=90°,∴OB⊥AC.分别以OB,OC,OA1为x轴、y轴、
6、轴,建立如图的空间直角坐标系O-xy,由题设可得A(0,-1,0),C(0,3,0),B(,0,0),A1(0,0,),D0,-,E设m=(x1,y1,1)是平面ABB1A1的一个法向量,则令1=1,则m=(1,-,1),∴cos=,∴直线DE与平面ABB1A1所成角的正弦值为2.解(1)由AB=BC=CA,易知OA=OB=OC.设OA=a,则AB=a,A(a,0,0),B(0,a,0),C(0,0,a),如图:设D点的坐标为(x,y,),则由DA=DB=DC=a,可得(x-a)2+y2+2=
7、x2+(y-a)2+2=x2+y2+(-a)2=2a2,解得x=y==a,所以=(a,a,0).又平面OAB的一个法向量为=(0,0,a),所以=0,所以CD∥平面OAB.(2)设F为AB的中点,连接CF,DF,则CF⊥AB,DF⊥AB,∠CFD为二面角C-AB-D的平面角.由(1)知,在△CFD中,CF=DF=aa,CD=a,则由余弦定理知cos∠CFD=,即二面角C-AB-D的余弦值为3.(1)证明取PA的中点F,连接EF,BF.因为E是PD的中点,所以EF∥AD,EF=AD.由∠BAD=∠ABC
8、=90°得BC∥AD,又BC=AD,所以EF?BC,四边形BCEF是平行四边形,CE∥BF,又BF⊂平面PAB,CE⊄平面PAB,故CE∥平面PAB.(2)解由已知得BA⊥AD,以A为坐标原点,的方向为x轴正方向,为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系A-xy,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),P(0,1,),=(1,0,-),=(1,0,0).设M(x,y,)(0
