高考数学一轮复习（回扣主干知识+提升学科素养）第四章第一节平面向量的概念及其线性运算教案文.doc

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1、第一节　平面向量的概念及其线性运算【考纲下载】1．了解向量的实际背景．2．理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义．3．理解向量的几何表示．4．掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义．5．掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义．6．了解向量线性运算的性质及其几何意义．1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相

2、反向量：长度相等且方向相反的向量．2．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算交换律：a＋b＝b＋a；结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算

3、λa

4、＝

5、λ

6、

7、a

8、，当λ＞0时，λa与a的方向相同；当λ＜0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb3．共线向量定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是当且仅当有唯一一个实数λ，使得b＝λa.1．两向量共线与平行是两个不同的概念吗？两向量共线是指两向

9、量的方向一致吗？提示：方向相同或相反的一组非零向量，叫做平行向量，又叫共线向量．显然两向量平行或共线，其方向可能相同，也可能相反．2．两向量平行与两直线(或线段)平行有何不同？提示：平行向量也叫共线向量，这里的“平行”与两直线(或线段)平行的意义不同，两向量平行时，两向量可以在同一条直线上．3．λ＝0与a＝0时，λa的值是否相等？提示：相等，且均为0.4．当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立吗？提示：成立．1．若向量a与b不相等，则a与b一定(　　)A．有不相等的模　　　　　　　B．不共线C．不可能都是零向量D．不可能都是单位向量解析：选C　若a与b都是零向量，则a＝

10、b，故选项C正确．2．若m∥n，n∥k，则向量m与向量k(　　)A．共线B．不共线C．共线且同向D．不一定共线解析：选D　可举特例，当n＝0时，满足m∥n，n∥k，故A、B、C选项都不正确，故D正确．3．D是△ABC的边AB上的中点，则向量等于(　　)A．－＋　　　B．－－C．－D．＋解析：选A　如图，由于D是AB的中点，所以＝＋＝＋＝－＋4．(教材习题改编)化简－＋－的结果为________．解析：－＋－＝(＋)＋(－)＝＋＝.答案：5．已知a与－b是两个不共线向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ的值为________．解析：∵a＋λb与－(b－3a)共线，∴存在实数μ，

11、使a＋λb＝μ(3a－b)，即∴答案：－易误警示(四)平面向量的线性运算中的易误点[典例]　(2013·广东高考)设a是已知的平面向量且a≠0.关于向量a的分解，有如下四个命题：①给定向量b，总存在向量c，使a＝b＋c；②给定向量b和c，总存在实数λ和μ，使a＝λb＋μc；③给定单位向量b和正数μ，总存在单位向量c和实数λ，使a＝λb＋μc；④给定正数λ和μ，总存在单位向量b和单位向量c，使a＝λb＋μc.上述命题中的向量b，c和a在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是(　　)A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4[解题指导]　利用三角形法则和平行四边形法则逐项作出判断

12、．[解析]　对于①，因为a与b给定，所以a－b一定存在，可表示为c，即c＝a－b，故a＝b＋c成立，①正确；对于②，因为b与c不共线，由平面向量基本定理可知②正确；对于③，由题意必有λb和μc表示不共线且长度不定的向量，由于μ为正数，故λb＋μc不能把任意向量a表示出来，故③错误；对于④，利用向量加法的三角形法则，结合三角形两边之和大于第三边，即必有

13、λb

14、＋

15、μc

16、＝λ＋μ≥

17、a

18、，故④错，因此正确的个数为2.[答案]　B[名师点评]　1.本题若对向量加法的几何意义理解有误或作图不准，易误认为③也是正确的，从而错选C.2．进行向量的线性运算时，要尽可能转化到三角形或平行四边形中，选

19、用从同一顶点出发的基本向量或首尾相连的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来解．下列命题中正确的是(　　)A．向量a，b共线的充要条件是有且仅有一个实数λ，使b＝λaB．在△ABC中，＋＋＝0C．不等式

20、

21、a

22、－

23、a＋b

24、

25、≤

26、a＋b

27、≤

28、a

29、＋

30、b

31、中两个等号不可能同时成立D．向量a，b不共线，则向量a＋b与向量a－b必不共线解析：选D　若a＝0，b≠0，此时a，b共线，但对任意实数λ都不满足b＝λa，故选项A不正确；＋＋＝0而不是0，故选项B不正确；当