高考数学第一轮复习 函数与定积分应用（3）学案 理.doc

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1、导数与定积分（尖刀班）(3)【探究10】：不等式恒成立与存在性问题思路提示在不等式恒成立或不等式有解条件下求参数的取值范围，一般利用等价转化的思想其转化为函数的最值或值域问题加以求解，可采用分离参数或不分离参数法直接移项构造辅助函数．（1）若函数在区间D上存在最小值和最大值，则不等式在区间D上恒成立；不等式在区间D上恒成立；不等式在区间D上恒成立；不等式在区间D上恒成立；（2）若函数在区间D上不存在最大（小）值，且值域为，则不等式在区间D上恒成立．不等式在区间D上恒成立．例14.已知函数（1）求的最小值．（2）对所有都有，求实数的取值范围．分

2、析第（2）问可用分离变量的方法求解参数的取值范围．解析函数的定义域是，（1），令，解得，当时，当，时；故在上单调递减，在上单调递增，所以，当时，函数取得最小值．（2）依题意，得在上恒成立，即不等式对于恒成立，即．设则，令，得，当时，因为，故在上是增函数，所以在上的最小值是，故的取值范围是．评注对于恒成立问题，其根本思路是转化，而转化只有两种方法．1，变量分离法，2，不分离参数法，本例第（２）问运用分离变量的方法，使得构造中的函数不含有参数，避免了对参数的分类讨论，对于不等式验证区间端点成立的情形，一般采用不分离参数法（见本例的变式1），同学们

3、应该视不同的情形使用不同的方法．变式1设函数．（1）求的单调区间；（2）若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围；（3）若关于的方程在区间上恰好有两个相异的实根，求实数的取值范围．变式2（2012湖南22（1））已知函数，其中，若对一切恒成立，求的取值集合．例15.设函数（1）证明;的导数；（2）若对所有，都有，求的取值范围．解析（1），由基本不等式得，故，当且仅当时．（2）令，由．①当时，，函数在上单调递增，则，满足题意．②当时，，因为函数在上单调递增，令，得当时，，函数在上单调递减，当时，，函数在上单调递增，因此，当时，不满足在，故不满足题

4、意，舍去．综上，的取值范围为．评注对于恒成立问题，其根本思想是“转化”，而转化有两种方法：分离参数法和不分离参数法，对于不等式试验区间端点值成立的情形，一般采用不分离参数法，相比分离参数法操作上简单，可以视不同情形，选择不同的方法变式1（2012天津20）已知的最小值为０，其中．（１）求的值；（２）若对任意的，均有成立，求实数的最小值．变式２　已知函数．（１）讨论函数的单调性；（２）当时，恒成立，求的取值范围．思路提示２（１）若函数在区间Ｄ上存在最小值和最大值，即，则对不等式有解问题有以下结论：不等式在区间D上有解；不等式在区间D上有解；不等

5、式在区间D上有解；不等式在区间D上有解；（２）若函数在区间D上不存在最大（小）值，如值域为，则对不等式有解问题有以下结论：不等式在区间D上有解不等式在区间D上有解例16.已知函数．（１）若，求函数的极值；（２）设函数，求函数的单调区间；（３）若在上存在一点，使得成立，求的取值范围．分析　若在区间上存在一点，使得成立，转化为函数在区间上的最小值小于０．解析　（１）当时，，函数的定义域为，当时，单调递减；当时，，单调递增，的极小值为（２），，导函数的零点为．若，即，则上单调递增；若，即，则上单调递减，在上单调递增．（３）依题意，只需要，令　，讨论

6、的零点与区间的位置关系．①若时，即单调递增，，得；②若时，即，上单调递减，在上单调递增，故，令，　，，因此，不符，故舍去．③若时，即，在上单调递减，则，得成立．综上，的取值范围为变式１　（２０１２北京丰台期末理１９）设函数，在处取得极值．（１）求与满足的关系式；（２）若，求函数的单调区间；（３）若，函数，若存在，使得成立，求的取值范围．思路提示３（１）对于任意的，总存在，使得；（２）对于任意的，总存在，使得；（３）若存在，对于任意的，使得；（４）若存在，对于任意的，使得；（５）对于任意的，使得；（６）对于任意的，使得；（７）若存在，总存在，使

7、得（８）若存在，总存在，使得．例17.　已知．（１）当时，讨论的单调性；（２）设，当时，若对任意，存在，使．求实数的取值范围．分析　对于任意的，存在，使得成立转化为解析　（１）函数的定义域为，①当时，，由，得，由，得②当时，，（Ⅰ）当时，得，函数在上单调递减．（Ⅱ）当时，，当变化时，变化情况如表３－１１所示．表３－１１00极小值极大值函数的单调递减区间为和，单调递增区间为．（Ⅲ）当时，，函数在上单调递减，在上单调递增；综上，当时，函数在的单调递减区间为，递增区间为；当时，函数在，上单调递减，在上单调递增；当时，函数在上单调递减．（２）依题意，

8、，当时，在上递减，在上递增，故．当时，，则，即（舍）当时，，得即或（舍）当时，，则，得综上，实数的取值范围是．评注　对于存在性与任意性的综合问题，不妨先定存在，如本