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1、微分方程的概念例1（E01）设一物体的温度为100℃，将其放置在空气温度为20℃的环境中冷却.根据冷却定律：物体温度的变化率与物体和当时空气温度之差成正比，设物体的温度与时间的函数关系为，则可建立起函数满足的微分方程(1)其中为比例常数.这就是物体冷却的数学模型.根据题意，还需满足条件(2)例2（E02）设一质量为的物体只受重力的作用由静止开始自由垂直降落.根据牛顿第二定律：物体所受的力等于物体的质量与物体运动的加速度成正比，即，若取物体降落的铅垂线为轴，其正向朝下，物体下落的起点为原点，并设开始下落的时间是，物体下落的距离与时间的函数关系为，则可建立起函数满足的微分方程其中为
2、重力加速度常数.这就是自由落体运动的数学模型.根据题意，还需满足条件例3（E03）试指出下列方程是什么方程，并指出微分方程的阶数.解(1)是一阶线性微分方程，因方程中含有的和都是一次.(2)是一阶非线性微分方程，因方程中含有的的平方项.(3)是二阶非线性微分方程，因方程中含有的的三次方.(4)是二阶非线性微分方程，因方程中含有非线性函数和微分方程的解例4（E04）求曲线族满足的微分方程，其中为任意常数.解求曲线族所满足的方程，就是求一微分方程,使所给的曲线族正好是该微分方程的积分曲线族.因此所求的微分方程的阶数应与已知曲线族中的任意常数的个数相等.这里,我们通过消去任意常数的方
3、法来得到所求的微分方程.在等式两端对求导,得再从解出代入上式得化简即得到所求的微分方程例5（E05）验证函数(C为任意常数)是方程的通解,并求满足初始条件的特解.解要验证一个函数是否是方程的通解，只要将函数代入方程，看是否恒等，再看函数式中所含的独立的任意常数的个数是否与方程的阶数相同.将求一阶导数,得把和代入方程左边得因方程两边恒等,且中含有一个任意常数,故是题设方程的通解.将初始条件代入通解中，得从而所求特解为可分离变量的微分方程例1（E01）求微分方程的通解.解分离变量得两端积分得从而,记则得到题设方程的通解例2（E02）求微分方程的通解.解先合并及的各项,得设分离变量得
4、两端积分得于是记则得到题设方程的通解注：在用分离变量法解可分离变量的微分方程的过程中,我们在假定的前提下,用它除方程两边,这样得到的通解,不包含使的特解.但是,有时如果我们扩大任意常数C的取值范围,则其失去的解仍包含在通解中.如在例2中，我们得到的通解中应该，但这样方程就失去特解，而如果允许，则仍包含在通解中.例3已知当时，求解设则所以原方程变为即所以故例4设一物体的温度为100℃，将其放置在空气温度为20℃的环境中冷却.试求物体温度随时间的变化规律.解设物体的温度与时间的函数关系为在上节的例1中我们已经建立了该问题的数学模型:其中为比例常数.下面来求上述初值问题的解.分离变量
5、,得两边积分得(其中为任意常数)，即(其中).从而再将条件(2)代入,得于是，所求规律为注：物体冷却的数学模型在多个领域有广泛的应用.例如，警方破案时，法医要根据尸体当时的温度推断这个人的死亡时间，就可以利用这个模型来计算解决，等等.例5（E03）在一次谋杀发生后，尸体的温度从原来的按照牛顿冷却定律开始下降．假设两个小时后尸体温度变为，并且假定周围空气的温度保持不变，试求出尸体温度随时间的变化规律．又如果尸体被发现时的温度是，时间是下午4点整，那么谋杀是何时发生的？解 根据物体冷却的数学模型，有其中是常数．分离变量并求解得，为求出值，根据两个小时后尸体温度为这一条件，有，求得，
6、于是温度函数为，将代入上式求解，有，即得(小时)．于是，可以判定谋杀发生在下午4点尸体被发现前的8.4小时,即8小时24分钟,所以谋杀是在上午7点36分发生的.例6（E04）设降落伞从跳伞塔下落后,所受空气阻力与速度成正比,并设降落伞离开跳伞塔时速度为零,求降落伞下落速度与时间的关系.解设降落伞下落速度为降落伞下落时，同时收到重力与阻力的作用.降落伞所受外力为根据牛顿第二定律:,得到满足微分方程(1)初始条件将方程(1)分离变量得两边积分得，即或代入初始条件得故所求特解为.下面我们借助树的增长来引入一种在许多领域有广泛应用的数学模型——逻辑斯谛方程.一棵小树刚栽下去的时候长得比
7、较慢,渐渐地,小树长高了而且长得越来越快,几年不见,绿荫底下已经可乘凉了;但长到某一高度后,它的生长速度趋于稳定,然后再慢慢降下来.这一现象很具有普遍性.现在我们来建立这种现象的数学模型.如果假设树的生长速度与它目前的高度成正比,则显然不符合两头尤其是后期的生长情形,因为树不可能越长越快;但如果假设树的生长速度正比于最大高度与目前高度的差,则又明显不符合中间一段的生长过程.折衷一下,我们假定它的生长速度既与目前的高度,又与最大高度与目前高度之差成正比.设树生长的最大高度为H(m),在t(年)
