完美系统时域分析.doc

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1、二阶系统分析  大中小     一、 二阶系统的传递函数由二阶微分方程描述的系统称为二阶系统，其一般形式为：            （4-5）其传递函数为：                       （4-6）式中    —系统的输入；        —系统的输出；        —常系数。为了便于分析，在分析二阶系统的动态特性时，首先考虑传递函数分子部分等于常数的情况，即：                            （4-7）若系数a1和a2的符号相同，（4-7）式可改写成如下形式：                            （4-8）式中     

2、 —二阶系统的无阻尼自然振荡频率        —二阶系统的阻尼比            —放大系数式（4-8）称为二阶系统传递函数的通用形式。   式（4-8）的特征方程式为                                （4-9）   方程的特征根为：                             （4-10）   由式（4-10）可知，随着阻尼比的改变，特征方程根的性质会发生变化，二阶系统的单位阶跃响应曲线形状也会随之变化。阻尼比的变化可分成五种情况（即<0；=0；0<<1；=1；>1）。当<0时，特征方程的两个根（或根的实部）大于零，二阶系统是

3、不稳定的，对这种情况不作讨论。下面就其它四种的取值情况进行讨论。二、 二阶系统的单位阶跃响应1、 无阻尼情况（=0） =0时，式（4-10）为：                   即特征方程的两个根位于虚轴上，见表4-1。其传递函数为                      当输入信号为单位阶跃信号时：                  取C(s)的拉氏反变换，得无阻尼二阶系统的单位阶跃响应为：                        （4-11）这是振幅为K的等幅振荡，其单位阶跃响应曲线如图4-1中曲线①所示。图中横坐标用刻度,纵坐标用c(t)/c(?)刻度，曲线只

4、是的函数。等幅振荡（阻尼比=0）的振荡频率为，因而被称为无阻尼自然振荡频率。 ２、 欠阻尼情况（0<<1）0<<1时，二阶系统特征方程式的两个根为共轭复根，即             式中    —特征根实部之模值，称为衰减系数，具有角频率量纲，         —阻尼振荡频率，。见表4-1所示。系统的传递函数为               当输入信号为单位阶跃信号时，               取C(s)的拉普拉斯反变换，得欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应为：            （4-12）由式（4-12）可看出，欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应由稳态响应和瞬态响应两部分组成，

5、稳态响应值（即c(?)）等于K，也就是说，稳态（即）时，输入信号与输出信号c(?)之间不存在稳态误差。瞬态分量是一个随时间增长而衰减的振荡过程，振荡频率为，称为阻尼振荡频率。欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应曲线为一条衰减的正弦曲线，见图4-2所示。整个响应特性曲线包含在一对包络线之内，包络线的方程为                        （4-13） 它是时间常数为（即）的指数曲线。瞬态响应的幅值是按这条指数曲线的时间常数进行衰减的。根的负实部数值越大，瞬态响应衰减得就越快，因此，称为衰减系数。欠阻尼二阶系统单位阶跃响应曲线的振荡频率为阻尼振荡频率（即特征根的虚部），,因而

6、振荡周期：。当一定时，阻尼系数越大，振荡周期就越长。如果，响应过程成为非周期，将不复存在，系统的响应不再振荡。但为了便于分析和叙述，和的符号和名称在时，仍将沿用下去。３、 临界阻尼情况（） 时，二阶系统特征方程有两个相等的负实根：   　　　           见表4-1所示。系统的传递函数为                   当输入为单位阶跃信号时：                      （4-14）其响应曲线如图4-1上曲线⑥所示，响应是稳态值为K的非周期过程。４、 过阻尼情况（） 时，二阶系统特征方程有两个不等的负实根：                      

7、   见表4-1所示。系统的传递函数为                        当输入为单位阶跃信号时           取的拉普拉斯反变换，得过阻尼二阶系统的单位阶跃响应：                   （4-15）单位阶跃响应曲线如图4-3所示，它是一条单调的非周期曲线，由单位阶跃输入作用下的稳态响应                            （4-16）和两条衰减的指数曲线组成。由式（4-15）知，、的方程分别为：                   （4-1