数值分析报告大作业2014.doc

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1、课程设计课程名称：高等数值计算设计题目：数值计算B课程设计学号：姓名：完成时间：2014年10月20日题目一：非线性方程求根用Newton法计算下列方程（1），初值分别为，，；（2）其三个根分别为。当选择初值时给出结果并分析现象,当，迭代停止。一、摘要非线性方程的解析解通常很难给出，因此非线性方程的数值解就尤为重要。本实验通过使用常用的求解方法二分法和Newton法及改进的Newton法处理几个题目，分析并总结不同方法处理问题的优缺点。观察迭代次数，收敛速度及初值选取对迭代的影响。二、数学原理构造迭代函数

2、的一条很重要的途径是，用近似方程来代替原方程去求根。因此，如果能将非线性方程用线性方程来代替的话，求近似根问题就很容易解决，而且十分方便。Newton法就是把非线性方程线性化的一种方法。在求解非线性方程时，它的困难在于是非线性函数，为克服这一困难，考虑它的线性展开。设当前点为，在处的Taylor展开式为令，可以得到上式的近似方程设，解其方程得到这就是牛顿迭代公式。用牛顿迭代公式求方程根的方法称为牛顿迭代法。牛顿迭代法的几何意义为，不断用切线来近似曲线得到方程的根，我们知道方程的实根是函数的图形与横坐标的交

3、点，是函数在点处的切线与轴的交点，此时就是用切线的零点代替曲线的零点，因此，牛顿迭代法又称为切线法。三、程序设计基于MATLAB软件编写程序，先定义一个用Newton法求解的功能函数，然后调用函数用于计算不同的方程。各变量定义见程序。1、选取初值。2、利用公式求解3、计算所得是否满足精度要求4、如不满足继续迭代运算，如满足则输出所求结果四、结果分析和讨论1、第一题计算结果：首先得到函数在区间[-2.5，2.5]的图像，即可知函数与轴有交点，也就是说有根，并且从图中能够大致估算到根的位置。(1)、取初值时得

4、到根值r=1.3247，迭代次数t=4次(2)、取初值时得到根值r=1.3247，迭代次数t=42次(3)、取初值时得到根值r=1.3247，迭代次数t=8次根据结果可以分析得到，当使用牛顿迭代法时，所选初始值对迭代速度（迭代次数）有较大影响。当初始值充分接近方程的单根时，可保证迭代序列快速收敛，当初值选择不当时会造成迭代次数大幅增加或不一定收敛。2、第二题计算结果：初值时，得到根值r=-98，迭代次数为1次。根据结果可以得到，给出的迭代初值不一定会收敛于离它最近的实根，收敛速度也不一定会慢。初值不同所得

5、到的收敛值也不同。例如，在本题中更改初值为时，所得到的根是3，迭代次数为4次。五、完成题目的体会与收获通过自己编程实现牛顿迭代法，不仅让我对牛顿迭代法有了更深刻的了解，同时也锻炼了我编程解决数学问题的能力。原本上课时不清晰的思路被理清了，观察计算结果之后，还对牛顿迭代法的规律和用法更加明了。希望以后能多有这样的实践作业。六、附录function[root,t]=NewtonRoot2(f,a)%f是非线性函数%a为初值%eps为根的精度%root为求出的函数零点%t为迭代次数eps=5.0e-6;t=0;

6、f1=subs(sym(f),findsym(sym(f)),a);fun=diff(sym(f));fa=subs(sym(f),findsym(sym(f)),a);dfa=subs(sym(fun),findsym(sym(fun)),a);root=a-fa/dfa;tol=abs(root-a);while(tol>eps)t=t+1;r1=root;fx=subs(sym(f),findsym(sym(f)),r1);dfx=subs(sym(fun),findsym(sym(fun)),r1

7、);root=r1-fx/dfx;tol=abs(root-r1);endend题目二：线性方程组求解有一平面机构如图所示，该机构共有13条梁（图中标号的线段）由8个铰接点（图中标号的圈）联结在一起。上述结构的1号铰接点完全固定，8号铰接点竖立方向固定，并在2号、5号和6号铰接点，分别有如图所示的10吨、15吨和20吨的负载，在静平衡的条件下，任何一个铰接点上水平和竖立方向受力都是平衡的，以此计算每个梁的受力情况。7865434813579111221261013101520令，假设为各个梁上的受力，例如

8、对2号铰接点有：、对3号铰接点有：、对4号铰接点有：、对5号铰接点有：、对6号铰接点有：、对7号铰接点有：、对8号铰接点有：一、摘要对于实际的工程问题，很多问题归结为线性方程组的求解。本实验通过实际题目掌握求解线性方程组的数值解法，这里采用雅克比迭代法，如不收敛，再采用高斯列主元消去法。二、数学原理1、雅克比迭代法设有一个n元线性方程组它的矩阵形式为，如果非奇异，且。由上式可以得到而其相应的迭代公式为把上式迭代公式称为Jaco