复变函数05(吉大.ppt

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1、1第四章级数本章主要内容复级数；泰勒级数；洛朗级数.级数是研究函数的重要工具.本章我们将介绍复数项级数;讨论解析函数的级数表示－泰勒级数和洛朗级数;然后研究把函数展开为泰勒级数和洛朗级数.2第一节复级数复数项级数复数列的极限设{zn}为一复数列,其中zn=xn+iyn，又设z0=x0+iy0为一确定常数.若对任意给定的>0，存在正整数N，使当n>N时,总有zn－z0<成立.则称{zn}以z0为极限,也称复数列{zn}收敛于z0，记为3定理设z0=x0+iy0,zn=xn+iyn(n=1,2,…)则关于两个实数列相应项之和、差

2、、积、商所成序列的极限的结果,可以推广到复数序列.456复数项级数设{zn}={xn+iyn}(n=1,2,…)为一复数列,表达式称为复数项级数，其前n项的和称为复数项级数的部分和数列.若部分和数列{Sn}收敛于S，则称级数收敛.S称为级数的和.若{Sn}不收敛，称级数发散.7定理设zn=xn+iyn(n=1,2,…)级数收敛的充要条件是级数收敛.级数收敛的必要条件8定理证明根据实正项级数的比较判别法,可知级数收敛,进一步可知级数收敛.9绝对收敛与条件收敛若级数绝对收敛.非绝对收敛的收敛级数称为条件收敛.因为是正项级数,其收敛性可用正项级

3、数的判别法来判定.例判断级数的收敛性10由于实部发散，故原级数发散.由正项级数的比值判别法知原级数收敛,且绝对收敛.11又级数为条件收敛，所以原级数为条件收敛.因，收敛，故原级数收敛.复变函数项级数复变函数项级数设{fn(z)}(n=1,2,…)是定义在区域D上的复变函数列，则表达式12称为复变函数项级数，其前n项和为若对于D内的一点z0，存在,则称z0是级数的收敛点,而S(z0)称为它的和.若级数在D内处处收敛,则称为级数的和函数.13幂级数在复函数项级数中，称形如为幂级数.设z0=0,这时可得常用的幂级数形式幂级数的收敛定理同高等数学中

4、的实变幂级数一样，复变函数的幂级数也相似的收敛定理。14阿贝尔Abel定理若幂级数在点z=z0处收敛，则级数在圆域

5、z

6、<

7、z0

8、内绝对收敛,若幂级数在z=z0处发散，则它在

9、z

10、>

11、z0

12、上发散.证明因为幂级数收敛，由收敛的必要条件，有，所以存在正数M，使对所有的n，有15当

13、z

14、<

15、z0

16、时，则由于级数收敛,从而根据正项级数的比较审敛法知级数绝对收敛.利用反证法根据上述结论可得定理另一部分的证明.利用阿贝尔定理,可以确定幂级数的收敛范围.16对于幂级数来说,它的收敛情况可以分为下述三种：幂级数的收敛半径①在原点收敛，除原点外发散.(R＝0)

17、②在全平面上处处绝对收敛.(R＝+)③除上述两种极端情形之外,由阿贝尔定理可知,对于一般级数,必有一个圆域

18、z

19、

20、z

21、>R的范围内级数发散.17圆周

22、z

23、=R称为级数的收敛圆.R称为幂级数的收敛半径.幂级数在收敛圆周上的收敛性，不能作出一般的结论，要对具体级数具体分析.例求级数的收敛范围与和函数.解级数的部分和18当

24、z

25、<1时，，所以当

26、z

27、<1时,级数收敛，和函数为当

28、z

29、1时，由于n时幂级数的一般项zn不趋于零，级数发散.因此级数收敛范围为

30、z

31、<1,在此范围内，级数绝对收敛.收敛半

32、径R=1.19关于幂级数的收敛半径的求法,有以下两个方法.幂级数的收敛半径定理若满足下列条件之一则幂级数的收敛半径20若=0，则幂级数在整个复平面上解析,即R=+.若=+，则除z=0外幂级数处处发散，即R=0.例求下列幂级数的收敛半径,并讨论在收敛圆周上的情形.,并讨论z=0,2时的情形.解(1)因为21所以收敛半径R=1.收敛圆为

33、z

34、=1.在

35、z

36、=1上，级数原级数收敛范围是

37、z

38、1.所以收敛半径R=1，收敛圆为

39、z1

40、=1.在

41、z1

42、=1上，当z=0时，原级数成为，该级数收敛；22当z=2时,原级数为，该级数发散.例把函数表

43、示成形如的幂级数,其中a与b是不相等的复常数.解23,即

44、za

45、<

46、ba

47、时，有24复变幂级数和函数的性质定理设幂级数的收敛半径为R，则(1)级数的和函数是收敛圆内的解析函数.25(2)f(z)在收敛圆内可逐项求导，即(3)f(z)在收敛圆内可逐项积分，即26第二节泰勒级数解析函数展开成幂级数定理设f(z)在区域D内解析,z0为D内的一点，d为z0到D的边界上各点的最短距离，则当

48、zz0

49、

50、此展开唯一性.设f(z)在z0处又可以展开成则对上式求各阶导数，得当z=z0时，得28所以这个展开式是唯一的