定积分第五节.ppt

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1、§7.5广义积分一、无穷区间上的广义积分二、无界函数的广义积分(瑕积分）引例它的积分区间是无限长的，通常意义下的积分不存在，称之为无穷区间上的广义积分。这一个积分虽然积分区间是有限的，但是它区间端点处不连续，而且函数值趋于无穷大，故通常意义下的积分不存在，称之为无界函数的广义积分。取若极限存在，则称此极限值为函数在无穷区间上的广义积分.记作:即这时也称广义积分收敛,否则,发散.定义6.1在无穷区间上连续，设函数一、无穷区间上的广义积分类似可定义,设函数在无穷区间上连续，设函数在无穷区间上连续，其中c为取定

2、的常数.注意：当且仅当右端两个广义积分都收敛时,左端的广义积分才收敛,否则发散.例1.计算解xyo1A另解例2.计算解解例3.证明广义积分收敛于发散.证当时,当时,当时,当时,收敛于发散.当时,当时,例4.考察下列函数的敛散性：注意到当时，故对任意A>e,由极限的保序性，得一般结论：如果发散，且当x充分大时恒有则发散.如果收敛，且当x充分大时恒有则收敛.例5.讨论广义积分的敛散性。解：当时，由于故原广义积分发散。当时，二、无界函数的广义积分(瑕积分）定义6.2且若极限存在,称该极限值为函数在上的广义积分，

3、a叫瑕点记作:即这时也称广义积分收敛,否则发散.设函数在上连续，类似，设函数在上连续，且定义设函数在外连续，上除点定义注意：当且仅当右边两个广义积分都收敛时，左端的广义积分收敛，否则发散.例1.计算广义积分解.因所以另解例2.讨论广义积分的敛散性.解在外连续，上除点且因所以,原广义积分发散.另解所以,原广义积分发散.因例3.证明广义积分当时,收敛于当时,发散.证.当时,当时,得证.当时,收敛于当时,发散.当时,收敛于当时,发散.注意对照！当时,收敛于当时,发散.结论例4.计算解例5.计算解所以,练习：判断

4、下列广义积分的敛散性，如果收敛，求出其值。解：注：如果只需要判断上述广义积分的敛散性，而不要求其具体值，则有更简单的办法。注意到当时有而广义积分是收敛的，所以广义积分也是收敛的。求极限解：令则取将区间分成个小小区间在第个小区间上取则的敛散性解：由于所以例1.讨论广义积分的敛散性。解：当时，当时，且所以综上所述，当时收敛；当时，故收敛；当时，故发散。由以上讨论得到a.当时，收敛；b.当时，发散；注：被称为（Gamma，伽马）函数，其定义域为即一个非常有用的性质：练习：讨论函数的敛散性。结论：当且仅当时收敛。