幂级数展式(第五节).ppt

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1、第五节函数展成幂级数教学重点:泰勒级数麦克劳林级数直接法间接法教学难点:直接法间接法一泰勒(Taylor)级数二幂级数在近似计算中的应用函数展开成幂级数前面研究的是幂级数的收敛域及和函数,现在反过来,某个函数是否可以在某个区间内用幂级数表示一.泰勒级数第三章研究过泰勒公式:其中f(x)在的某邻域内具有n+1阶导数.余项此时,f(x)可以用前n+1项近似表示,误差为由此引入泰勒级数:1.定义若f(x)在的某邻域内具有各阶导数,则f(x)在的泰勒级数泰勒系数麦克劳林级数2.泰勒定理:若f(x)在的某邻域内具有

2、各阶导数,(由泰勒公式很容易得出结论,证明见下页)注:(1)则f(x)在的泰勒级数在该邻域内收敛于f(x)若f(x)在的泰勒级数收敛于f(x),即泰勒展开式(2)如果函数可以展开成幂级数,则展开式唯一.则称f(x)在可以展开成泰勒级数证必要性充分性7/24二.函数展开成幂级数主要研究函数如何展开成x的幂级数.麦克劳林级数1.直接展开法(1)求出如果某阶导数不存在,说明不能展开(2)求出(3)求出收敛半径R(4)在(-R,R)内,如果则f(x)例将函数展开成x的幂级数收敛半径有限趋于零,因为收敛所以(循环)

3、收敛半径所以0牛顿二项式级数注:α>－1时,展式在x=1成立;α>0时,展式在x=－1成立.2.间接展开法利用已知的基本展开式和幂级数的性质(1).逐项积分,逐项求导法(2)变量替换法(3)四则运算法例将函数展开成x的幂级数作变量替换（5）将展成x的幂级数。解因而（6）将的幂级数。解所以(7)将分别展开成x的及x－1的幂级数①②(8)将展开成x－1的幂级数(9)解19/24(10)解20/24(11)解21/24(12)解22/24(13)解23/24常用的麦克劳林展式（记住）:17/24——二项式展开式

4、*注:18/24练习二幂级数在近似计算中的应用由公式可知，在收敛域上，f(x)可展成易知f(x)等于前n项构成的多项式，所以通过求多项式的值，就可得到的f(x)近似值。例9求的近似值，误差不超过。解因为，得若取前两项，得此时，交错级数的误差即