2019_2020学年高中数学第二章平面解析几何初步2.4.1空间直角坐标系学案新人教B版必修2.doc

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1、2．4．1　空间直角坐标系　1．了解空间直角坐标系．　2．理解空间直角坐标系的有关概念．　3．掌握空间中任意一点的坐标的求法．1．空间直角坐标系为了确定空间点的位置，我们在空间中取一点O作原点，过O点作三条两两垂直的数轴，通常用x，y，z表示轴的方向．通常这样选择：从z轴的正方向看，x轴的正半轴沿逆时针方向转90°能与y轴的正半轴重合．这时我们在空间建立了一个空间直角坐标系Oxyz，在这个过程中，三条坐标轴两两垂直是建立空间直角坐标系的基础．让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，那么称这个坐标系为右

2、手直角坐标系．一般情况下，建立的坐标系都是右手直角坐标系．在空间任意一点P与三个实数的有序数组(点的坐标)之间，建立起一一对应的关系：P←→(x，y，z)．其中x叫做点P的横坐标，也叫点P的x坐标；y叫做点P的纵坐标，也叫点P的y坐标；z叫做点P的竖坐标，也叫点P的z坐标．2．坐标与坐标平面(1)过点P作一个平面平行于平面yOz(垂直于x轴)，这个平面与x轴的交点记为Px，它在x轴上的坐标为x，这个数x叫做点P的x坐标．(2)过点P作一个平面平行于平面xOz(垂直于y轴)，这个平面与y轴的交点记为Py，它在y轴上的坐标为y，这个数y叫做

3、点P的y坐标．(3)过点P作一个平面平行于平面xOy(垂直于z轴)，这个平面与z轴的交点记为Pz，它在z轴上的坐标为z，这个数z叫做点P的z坐标．(4)每两条坐标轴分别确定的平面yOz，xOz，xOy叫做坐标平面．(5)xOy平面(通过x轴和y轴的平面)是坐标形如(x，y，0)的点构成的点集，其中x，y为任意实数；(6)yOz平面(通过y轴和z轴的平面)是坐标形如(0，y，z)的点构成的点集，其中y，z为任意实数；(7)xOz平面(通过x轴和z轴的平面)是坐标形如(x，0，z)的点构成的点集，其中x，z为任意实数．(8)x轴是坐标形如(

4、x，0，0)的点构成的点集，其中x为任意实数；(9)y轴是坐标形如(0，y，0)的点构成的点集，其中y为任意实数；(10)z轴是坐标形如(0，0，z)的点构成的点集，其中z为任意实数；(11)三个坐标平面把空间分为八部分，每一部分称为一个卦限，在坐标平面xOy上方，11分别对应该坐标平面上四个象限的卦限，称为第Ⅰ、第Ⅱ、第Ⅲ、第Ⅳ卦限；在下方的卦限称为第Ⅴ、第Ⅵ、第Ⅶ、第Ⅷ卦限．1．在如图所示的坐标系中，OABCD′A′B′C′是单位正方体，求单位正方体的各顶点坐标．解：坐标原点O(0，0，0)，在坐标轴上的点A(1，0，0)，C(0，

5、1，0)，D′(0，0，1)，在坐标面上的点B(1，1，0)，A′(1，0，1)，C′(0，1，1)，不在坐标轴和坐标面上的点B′(1，1，1)．2．在空间直角坐标系中，P的坐标为(3，4，5)，过点P作平面xOy的垂线，求垂足的坐标．解：根据垂直的性质和平面xOy上的点的坐标特点，得到垂足的坐标为(3，4，0)．　求空间中点的坐标　已知VABCD是正棱锥，O为底面中心，E，F分别为BC，CD的中点．已知

6、AB

7、＝2，

8、VO

9、＝3，建立如图所示空间直角坐标系，试分别写出各个顶点的坐标．【解】　因为底面是边长为2的正方形，所以

10、CE

11、＝

12、

13、CF

14、＝1．因为点O是坐标原点，所以C(1，1，0)，同样的方法可以确定B(1，－1，0)，A(－1，－1，0)，D(－1，1，0)．因为V在z轴上，所以V(0，0，3)．　在本例中，若点M是OC的中点，则点M在题图所示的坐标系中的坐标为________．解析：在题图中，点M的横坐标为＝，纵坐标为＝，竖坐标为＝0，即M(，，0)．11答案：(1)本题坐标系已给出，不用再建系．若未给出坐标系，建立空间直角坐标系时应遵循以下原则：①让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内；②充分利用几何图形的对称性．(2)求某点的坐标时，一般先找这一点在某一

15、坐标平面上的射影，确定其两个坐标，再找出它在另一轴上的射影(或者通过它到这个坐标平面的距离加上正负号)确定第三个坐标．　　如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，CC1上的点，

16、CF

17、＝

18、AB

19、＝2

20、CE

21、，

22、AB

23、∶

24、AD

25、∶

26、AA1

27、＝1∶2∶4．试建立适当的坐标系，写出E，F点的坐标．解：以A为坐标原点，射线AB，AD，AA1的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系，如图所示．分别设

28、AB

29、＝1，

30、AD

31、＝2，

32、AA1

33、＝4，则

34、CF

35、＝

36、AB

37、＝1，

38、CE

39、＝

40、AB

41、＝，所以

42、BE

43、＝

44、BC

45、－

46、

47、CE

48、＝2－＝．所以点E的坐标为，点F的坐标为(1，2，1)．　点的对称问题11　如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a．(1)求B1关于平面xOy对称的点的坐标；(2)求B1关于z轴对称的点