2019_2020学年高中数学第3章空间向量与立体几何3.2空间向量在立体几何中的应用3.2.5距离（选学）学案新人教B版选修2_1.doc

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1、3．2.5　距离(选学)　1.了解图形与图形的距离的概念．　2.理解四种距离的概念．　3.会求一些简单的距离问题．1．距离的概念一个图形内的任一点与另一图形内的任一点的距离中的最小值，叫做图形与图形的距离．2．点到平面的距离(1)连接平面外一点与平面内任意一点的所有线段中，垂线段最短．(2)一点到它在一个平面内正射影的距离，叫做点到这个平面的距离．3．直线与它的平行平面的距离(1)如果一条直线平行于平面α，则直线上的各点到平面α所作的垂线段相等，即各点到α的距离相等．(2)一条直线上的任一点与它平行的平面的距离，叫做直线与这个平面的距离．4．两个平行平面的距离(1)和两个平行平面同时

2、垂直的直线，叫做两个平面的公垂线．公垂线夹在平行平面间的部分，叫做两个平面的公垂线段．(2)两个平行平面的公垂线段的长度，叫做两个平行平面的距离．1．已知直线l过点A(1，－1，2)，和l垂直的一个向量为n＝(－3，0，4)，则P(3，5，0)到l的距离为(　　)A．5　　　　　　　　　　B．14C．D．答案：C2．在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，点A1到平面BB1D1D的距离为(　　)A．aB．aC．aD．a解析：选D．设B1D1中点为O，则A1O即为点A1到平面BB1D1D的距离．可求得A1O＝a.3．正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，则BC到平面AB1C1

3、D的距离为(　　)15A．1B．C．D．解析：选C．设AB1中点为O，则BO即为BC到平面AB1C1D的距离，可求得BO＝.　计算两点之间的距离　如图，在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，将它沿对角线AC折起，使AB与CD成60°角，求B、D间的距离．【解】　因为∠ACD＝90°，所以·＝0.同理，·＝0.因为AB与CD成60°角，所以〈，〉＝60°或120°.又＝＋＋，所以·＝

4、

5、2＋

6、

7、2＋

8、

9、2＋2·＋2·＋2·＝3＋2×1×1×cos〈，〉＝所以

10、

11、＝2或，即B、D间的距离为2或.计算两点之间的距离和线段的长度是计算四种距离中的最基本的题型．一般方法有三

12、种：(1)构造三角形，通过解三角形求解．(2)建立适当的直角坐标系，求出两点的坐标，利用公式求解．(3)把线段用向量表示，转化为求向量的模，利用

13、a

14、2＝a·a求解．　　设A(3，3，1)，B(1，0，5)，C(0，1，0)，则AB的中点M到点C的距离

15、CM

16、＝(　　)15A．　　　　　　　　　B．C．D．答案：C　求点到平面的距离　四棱锥PABCD中，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝DA＝2，F，E分别为AD，PC的中点．(1)求证：DE∥平面PFB；(2)求点E到平面PFB的距离．【解】　(1)证明：以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0，0，2)，

17、F(1，0，0)，B(2，2，0)，E(0，1，1)．＝(－1，0，2)，＝(1，2，0)，＝(0，1，1)，所以＝＋，又因为DE⊄平面PFB，所以DE∥平面PFB.(2)因为DE∥平面PFB，所以点E到平面PFB的距离等于点D到平面PFB的距离．设平面PFB的一个法向量n＝(x，y，z)，则⇒令x＝2，得y＝－1，z＝1，所以n＝(2，－1，1)．又因为＝(－1，0，0)，所以点D到平面PFB的距离d＝＝＝.15所以点E到平面PFB的距离为.(1)利用点到平面的距离的定义求点到平面的距离，只需作出点在平面内的射影，然后求垂线段的长即可．(2)用向量法求点到平面的距离的方法：求出平面

18、的一个法向量n的坐标，再求出已知点P与平面内任一点M构成的向量的坐标，那么P到平面的距离d＝

19、

20、·

21、cos〈n，〉

22、.　　已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1，AB＝1，AA1＝2，点E为CC1的中点，求点D1到平面BDE的距离．解：以D点为原点，建立空间直角坐标系Dxyz如图，所以D(0，0，0)，B(1，1，0)，D1(0，0，2)，E(0，1，1)，故＝(1，1，0)，＝(0，1，1)．设平面BDE的法向量n＝(x，y，z)，则n⊥，n⊥，故有，所以，所以，取x＝1，则y＝－1，z＝1，所以n＝(1，－1，1)．因为＝(0，0，2)，所以·n＝2，

23、n

24、＝，所以d＝＝＝，即点D

25、1到平面BDE的距离为.　求线面距离和面面距离　如图，正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，侧棱AA1＝3，底面边长AB＝2，E、F分别为棱BC、B1C1的中点．15(1)求证：平面BD1F∥平面C1DE；(2)求平面BD1F与平面C1DE间的距离．【解】　(1)证明：如图，以D为原点，分别以DA、DC、DD1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，C(0，2，0)，D1(0，0，3)，C1(0，2，3)，B1(2，2，3)，B(2，2