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1、用代数思想求解几何证明问题的一种方法例题：在正方形ABCD中，E和F分别是AB和BC的中点，连接CE和DF，相交于P，连接AP。求证：AP=AD几何解法：∵EB=CF，DC=BC，∠DCF=∠B∴△DCF≌△CBE，可得∠DFC+∠FDC=90°，∠BCE=∠FDC，∴∠DFC+∠BCE=90°∴∠FPC=90°∴DF⊥EC。方法一:过点P做MN∥BC，MN垂直于AB,CD。∠NPC=∠PCB,∠PNC=∠CBE=90°∴△PNC∽△CBE得出PN/NC=CB/EB=2∠FDH=∠ECB∠PND=∠EBC=90°∴△PND∽△CBEDN/PN=CB/EB=2∴DN=2PN
2、=4NC∴DC=5NCPN=2/5DCNC=1/4DN=1/5DC=1/5AB=MB所以，就知道了AM=AB-MB=4/5ABPM=MN-PN=AB-PN=3/5AB,AP=√(AM²+PM²)=√[(4/5AB)²+(3/5AB)²]=AB(勾股定理)∴AP=AB=AD方法二:延长PE交DA延长线于G,∵AE=EB∠CEB=∠GEA∠EBC=∠EAG=90°,∴△GAE≌△CBE,∴GA=BC=AD,∵△DPG为RT△,∠DPG=∠FPC=90°,DG为斜边,A为斜边上中点,∴AP=1/2DG=AD方法三:H为DC中点,连AH,HP,AH交DE于G,△DPC为RT△,G
3、∠DPG=∠FPC=90°,HP=HC=DH,RT△中线的性质,∠HPC=∠HCP,∠HPD=∠HDP,用上面同样的方法可证AH⊥DF,∴EC∥AH(垂直于同一条直线的两条直线平行),∠DHG=∠DCP(同位角),∠PHG=∠HPC(内错角),∴∠DHG=∠PHG,HG=HG∴△GHG≌△PHG,∴DG=PG,AH垂直平分DP,AH是线段DP的垂直平分线,所以,AD=AP方法四:在方法三的基础上,∵AH=AH,DH=PH,∠DHG=∠PHG∴△ADH≌△APH,∴AD=AP代数方法：由于□ABCD是正方形，且E和F为AB与BC的中点，因此，比较容易建立直角坐标系。我们以D
4、为原点，DC为X轴，DA为Y轴建立坐标系，设正方形的边长为2，则AE=EB=BF=FC=1，各点的坐标为，D点D(0,0),A(0,2),E(1,2),F(2,1),C(2,0),设直线CE的方程y=kx+b,将C,E两点的坐标代入,可以求得b=4,k=-2,则y=-2x+4.同理,可得FD的方程为y=1/2x联立这个两个方程可得1/2x=-2x+4求的P点的横坐标x=8/5,代入y=1/2x的纵坐标y=4/5,P(8/5,4/5),由两点间距离公式:AP=√[(8/5–0)²+(2–4/5)²]=√[(64/25)²+(36/25)²=√(100/25)=√(2)²=2
5、.∵AD=2∴AP=AD
