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《2012高中数学 1.2任意角的三角函数教案 新人教A版必修4 .doc》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、1.2 任意角的三角函数6用心爱心专心一、任意角三角函数的定义已知角α的终边过点P(-3cosθ,4cosθ),其中θ∈,求α的三角函数值.解 ∵θ∈,∴-12、cosθ3、=-cosθ且tanθ<04、.则的符号.解 (1)∵340°是第四象限角,265°是第三象限角,∴sin340°<0,cos265°<0∴sin340°cos265°>0.(2)∵π<4<,∴4是第三象限角,∵-π=-6π+∴-π是第一象限角∴sin4<0,tan>0∴sin4tan<0.(3)由5、cosθ6、=-cosθ,得cosθ≤0.∴角θ的终边在第二、三象限或y轴或x轴的负半轴上.又tanθ<0,∴角θ的终边在第二、四象限.从而θ的终边在第二象限.易知-17、角,sinθ是第一象限角.∴cos(sinθ)>0,sin(cosθ)<0.故<0.【思维升华】6用心爱心专心 正弦、余弦、正切函数在第一象限全正,在第二象限只有正弦为正,在第三象限只有正切为正,在第四象限只有余弦为正,记忆口诀为“一全(正)、二正弦、三正切、四余弦”.三、利用单位圆中的三角函数线求解或证明某些三角不等式若sin2x>cos2x,则x的取值范围是( )A.{x8、2kπ-π9、2kπ+10、kπ-11、kπ+12、,k∈Z}解析 sin2x>cos2x⇔13、sinx14、>15、cosx16、.在直角坐标系中作出单位圆及直线y=x,y=-x,根据三角函数线的定义知角x的终边应落在图中的阴影部分,故应选D.答案 D【思维升华】 单位圆中的三角函数线,可以直观、形象地表示一个角的各三角函数值,用它来处理三角函数中的某些问题,可得到明快、简洁的解答.四、同角三角函数基本关系式在求值中的应用已知sinα-cosα=-,π<α<,求tanα的值.解 方法一 由得5cos2α-cosα-2=0∴cosα=或cosα=-∵π<α<,∴cosα<0.∴cos17、α=-,∴sinα=-.因此tanα===2.方法二 ∵sinα-cosα=-,①∴(sinα-cosα)2=1-2sinαcosα=.2sinαcosα=.6用心爱心专心∴(sinα+cosα)2=1+2sinαcosα=1+=.∵π<α<,∴sinα<0,cosα<0,∴sinα+cosα<0∴sinα+cosα=-.②由①②组成的方程组得:sinα=-,cosα=-.∴tanα==2.【思维升华】 学会利用方程思想解三角题,对于sinα+cosα,sinαcosα,sinα-cosα这三个式子,已知其中一个式子的18、值,其余二式的值可以求出.五、平方关系sin2x+cos2x=1在三角化简、求值中的灵活运用化简下列各式:(1);(2).解 (1)原式==19、cos400°20、=21、cos40°22、=cos40°.(2)原式====-1.【思维升华】 所谓化简就是使表达式经过某种变形,使结果尽可能的简单,也就是使项数尽可能的少,次数尽可能的低,函数的种类尽可能的少,分母中尽量不含三角函数符号,能求值的一定要求值.1.已知sinα=,则sin4α-cos4α的值为( )A.-B.-C.D.解析 sin4α-cos4α=sin2α-cos2α23、=2sin2α-1=2×-1=-.答案 B点评 sin2α+cos2α=1是同角三角函数基本关系式中最常用的一个公式,公式变形较多,应用灵活是高考经常考查的内容之一.2.(浙江高考)若cosα+2sinα=-,则tanα等于( )A.B.2C.-D.-2解析 ∵cosα+2sinα=-,∴cos2α+4sinαcosα+4sin2α=5,∴=5,6用心爱心专心∴=5,∴tan2α-4tanα+4=0,∴(tanα-2)2=0,∴tanα=2.答案 B点评 形如asin2x+bsinxcosx+ccos2x的二次齐次式24、容易转化为关于tanx的代数式,在题目中,二者可以相互转化.3.已知tanθ=2,则sin2θ+sinθcosθ-2cos2θ等于( )A.-B.C.-D.解析 sin2θ+sinθ·cosθ-2cos2θ==,又tanθ=2,故原式==.答案 D点评 本题考查了三角函数知识,解决本题的关键是把分母看作1,然后分子、分母同除以c
2、cosθ
3、=-cosθ且tanθ<0
4、.则的符号.解 (1)∵340°是第四象限角,265°是第三象限角,∴sin340°<0,cos265°<0∴sin340°cos265°>0.(2)∵π<4<,∴4是第三象限角,∵-π=-6π+∴-π是第一象限角∴sin4<0,tan>0∴sin4tan<0.(3)由
5、cosθ
6、=-cosθ,得cosθ≤0.∴角θ的终边在第二、三象限或y轴或x轴的负半轴上.又tanθ<0,∴角θ的终边在第二、四象限.从而θ的终边在第二象限.易知-17、角,sinθ是第一象限角.∴cos(sinθ)>0,sin(cosθ)<0.故<0.【思维升华】6用心爱心专心 正弦、余弦、正切函数在第一象限全正,在第二象限只有正弦为正,在第三象限只有正切为正,在第四象限只有余弦为正,记忆口诀为“一全(正)、二正弦、三正切、四余弦”.三、利用单位圆中的三角函数线求解或证明某些三角不等式若sin2x>cos2x,则x的取值范围是( )A.{x8、2kπ-π9、2kπ+10、kπ-11、kπ+12、,k∈Z}解析 sin2x>cos2x⇔13、sinx14、>15、cosx16、.在直角坐标系中作出单位圆及直线y=x,y=-x,根据三角函数线的定义知角x的终边应落在图中的阴影部分,故应选D.答案 D【思维升华】 单位圆中的三角函数线,可以直观、形象地表示一个角的各三角函数值,用它来处理三角函数中的某些问题,可得到明快、简洁的解答.四、同角三角函数基本关系式在求值中的应用已知sinα-cosα=-,π<α<,求tanα的值.解 方法一 由得5cos2α-cosα-2=0∴cosα=或cosα=-∵π<α<,∴cosα<0.∴cos17、α=-,∴sinα=-.因此tanα===2.方法二 ∵sinα-cosα=-,①∴(sinα-cosα)2=1-2sinαcosα=.2sinαcosα=.6用心爱心专心∴(sinα+cosα)2=1+2sinαcosα=1+=.∵π<α<,∴sinα<0,cosα<0,∴sinα+cosα<0∴sinα+cosα=-.②由①②组成的方程组得:sinα=-,cosα=-.∴tanα==2.【思维升华】 学会利用方程思想解三角题,对于sinα+cosα,sinαcosα,sinα-cosα这三个式子,已知其中一个式子的18、值,其余二式的值可以求出.五、平方关系sin2x+cos2x=1在三角化简、求值中的灵活运用化简下列各式:(1);(2).解 (1)原式==19、cos400°20、=21、cos40°22、=cos40°.(2)原式====-1.【思维升华】 所谓化简就是使表达式经过某种变形,使结果尽可能的简单,也就是使项数尽可能的少,次数尽可能的低,函数的种类尽可能的少,分母中尽量不含三角函数符号,能求值的一定要求值.1.已知sinα=,则sin4α-cos4α的值为( )A.-B.-C.D.解析 sin4α-cos4α=sin2α-cos2α23、=2sin2α-1=2×-1=-.答案 B点评 sin2α+cos2α=1是同角三角函数基本关系式中最常用的一个公式,公式变形较多,应用灵活是高考经常考查的内容之一.2.(浙江高考)若cosα+2sinα=-,则tanα等于( )A.B.2C.-D.-2解析 ∵cosα+2sinα=-,∴cos2α+4sinαcosα+4sin2α=5,∴=5,6用心爱心专心∴=5,∴tan2α-4tanα+4=0,∴(tanα-2)2=0,∴tanα=2.答案 B点评 形如asin2x+bsinxcosx+ccos2x的二次齐次式24、容易转化为关于tanx的代数式,在题目中,二者可以相互转化.3.已知tanθ=2,则sin2θ+sinθcosθ-2cos2θ等于( )A.-B.C.-D.解析 sin2θ+sinθ·cosθ-2cos2θ==,又tanθ=2,故原式==.答案 D点评 本题考查了三角函数知识,解决本题的关键是把分母看作1,然后分子、分母同除以c
7、角,sinθ是第一象限角.∴cos(sinθ)>0,sin(cosθ)<0.故<0.【思维升华】6用心爱心专心 正弦、余弦、正切函数在第一象限全正,在第二象限只有正弦为正,在第三象限只有正切为正,在第四象限只有余弦为正,记忆口诀为“一全(正)、二正弦、三正切、四余弦”.三、利用单位圆中的三角函数线求解或证明某些三角不等式若sin2x>cos2x,则x的取值范围是( )A.{x
8、2kπ-π9、2kπ+10、kπ-11、kπ+12、,k∈Z}解析 sin2x>cos2x⇔13、sinx14、>15、cosx16、.在直角坐标系中作出单位圆及直线y=x,y=-x,根据三角函数线的定义知角x的终边应落在图中的阴影部分,故应选D.答案 D【思维升华】 单位圆中的三角函数线,可以直观、形象地表示一个角的各三角函数值,用它来处理三角函数中的某些问题,可得到明快、简洁的解答.四、同角三角函数基本关系式在求值中的应用已知sinα-cosα=-,π<α<,求tanα的值.解 方法一 由得5cos2α-cosα-2=0∴cosα=或cosα=-∵π<α<,∴cosα<0.∴cos17、α=-,∴sinα=-.因此tanα===2.方法二 ∵sinα-cosα=-,①∴(sinα-cosα)2=1-2sinαcosα=.2sinαcosα=.6用心爱心专心∴(sinα+cosα)2=1+2sinαcosα=1+=.∵π<α<,∴sinα<0,cosα<0,∴sinα+cosα<0∴sinα+cosα=-.②由①②组成的方程组得:sinα=-,cosα=-.∴tanα==2.【思维升华】 学会利用方程思想解三角题,对于sinα+cosα,sinαcosα,sinα-cosα这三个式子,已知其中一个式子的18、值,其余二式的值可以求出.五、平方关系sin2x+cos2x=1在三角化简、求值中的灵活运用化简下列各式:(1);(2).解 (1)原式==19、cos400°20、=21、cos40°22、=cos40°.(2)原式====-1.【思维升华】 所谓化简就是使表达式经过某种变形,使结果尽可能的简单,也就是使项数尽可能的少,次数尽可能的低,函数的种类尽可能的少,分母中尽量不含三角函数符号,能求值的一定要求值.1.已知sinα=,则sin4α-cos4α的值为( )A.-B.-C.D.解析 sin4α-cos4α=sin2α-cos2α23、=2sin2α-1=2×-1=-.答案 B点评 sin2α+cos2α=1是同角三角函数基本关系式中最常用的一个公式,公式变形较多,应用灵活是高考经常考查的内容之一.2.(浙江高考)若cosα+2sinα=-,则tanα等于( )A.B.2C.-D.-2解析 ∵cosα+2sinα=-,∴cos2α+4sinαcosα+4sin2α=5,∴=5,6用心爱心专心∴=5,∴tan2α-4tanα+4=0,∴(tanα-2)2=0,∴tanα=2.答案 B点评 形如asin2x+bsinxcosx+ccos2x的二次齐次式24、容易转化为关于tanx的代数式,在题目中,二者可以相互转化.3.已知tanθ=2,则sin2θ+sinθcosθ-2cos2θ等于( )A.-B.C.-D.解析 sin2θ+sinθ·cosθ-2cos2θ==,又tanθ=2,故原式==.答案 D点评 本题考查了三角函数知识,解决本题的关键是把分母看作1,然后分子、分母同除以c
9、2kπ+10、kπ-11、kπ+12、,k∈Z}解析 sin2x>cos2x⇔13、sinx14、>15、cosx16、.在直角坐标系中作出单位圆及直线y=x,y=-x,根据三角函数线的定义知角x的终边应落在图中的阴影部分,故应选D.答案 D【思维升华】 单位圆中的三角函数线,可以直观、形象地表示一个角的各三角函数值,用它来处理三角函数中的某些问题,可得到明快、简洁的解答.四、同角三角函数基本关系式在求值中的应用已知sinα-cosα=-,π<α<,求tanα的值.解 方法一 由得5cos2α-cosα-2=0∴cosα=或cosα=-∵π<α<,∴cosα<0.∴cos17、α=-,∴sinα=-.因此tanα===2.方法二 ∵sinα-cosα=-,①∴(sinα-cosα)2=1-2sinαcosα=.2sinαcosα=.6用心爱心专心∴(sinα+cosα)2=1+2sinαcosα=1+=.∵π<α<,∴sinα<0,cosα<0,∴sinα+cosα<0∴sinα+cosα=-.②由①②组成的方程组得:sinα=-,cosα=-.∴tanα==2.【思维升华】 学会利用方程思想解三角题,对于sinα+cosα,sinαcosα,sinα-cosα这三个式子,已知其中一个式子的18、值,其余二式的值可以求出.五、平方关系sin2x+cos2x=1在三角化简、求值中的灵活运用化简下列各式:(1);(2).解 (1)原式==19、cos400°20、=21、cos40°22、=cos40°.(2)原式====-1.【思维升华】 所谓化简就是使表达式经过某种变形,使结果尽可能的简单,也就是使项数尽可能的少,次数尽可能的低,函数的种类尽可能的少,分母中尽量不含三角函数符号,能求值的一定要求值.1.已知sinα=,则sin4α-cos4α的值为( )A.-B.-C.D.解析 sin4α-cos4α=sin2α-cos2α23、=2sin2α-1=2×-1=-.答案 B点评 sin2α+cos2α=1是同角三角函数基本关系式中最常用的一个公式,公式变形较多,应用灵活是高考经常考查的内容之一.2.(浙江高考)若cosα+2sinα=-,则tanα等于( )A.B.2C.-D.-2解析 ∵cosα+2sinα=-,∴cos2α+4sinαcosα+4sin2α=5,∴=5,6用心爱心专心∴=5,∴tan2α-4tanα+4=0,∴(tanα-2)2=0,∴tanα=2.答案 B点评 形如asin2x+bsinxcosx+ccos2x的二次齐次式24、容易转化为关于tanx的代数式,在题目中,二者可以相互转化.3.已知tanθ=2,则sin2θ+sinθcosθ-2cos2θ等于( )A.-B.C.-D.解析 sin2θ+sinθ·cosθ-2cos2θ==,又tanθ=2,故原式==.答案 D点评 本题考查了三角函数知识,解决本题的关键是把分母看作1,然后分子、分母同除以c
10、kπ-11、kπ+12、,k∈Z}解析 sin2x>cos2x⇔13、sinx14、>15、cosx16、.在直角坐标系中作出单位圆及直线y=x,y=-x,根据三角函数线的定义知角x的终边应落在图中的阴影部分,故应选D.答案 D【思维升华】 单位圆中的三角函数线,可以直观、形象地表示一个角的各三角函数值,用它来处理三角函数中的某些问题,可得到明快、简洁的解答.四、同角三角函数基本关系式在求值中的应用已知sinα-cosα=-,π<α<,求tanα的值.解 方法一 由得5cos2α-cosα-2=0∴cosα=或cosα=-∵π<α<,∴cosα<0.∴cos17、α=-,∴sinα=-.因此tanα===2.方法二 ∵sinα-cosα=-,①∴(sinα-cosα)2=1-2sinαcosα=.2sinαcosα=.6用心爱心专心∴(sinα+cosα)2=1+2sinαcosα=1+=.∵π<α<,∴sinα<0,cosα<0,∴sinα+cosα<0∴sinα+cosα=-.②由①②组成的方程组得:sinα=-,cosα=-.∴tanα==2.【思维升华】 学会利用方程思想解三角题,对于sinα+cosα,sinαcosα,sinα-cosα这三个式子,已知其中一个式子的18、值,其余二式的值可以求出.五、平方关系sin2x+cos2x=1在三角化简、求值中的灵活运用化简下列各式:(1);(2).解 (1)原式==19、cos400°20、=21、cos40°22、=cos40°.(2)原式====-1.【思维升华】 所谓化简就是使表达式经过某种变形,使结果尽可能的简单,也就是使项数尽可能的少,次数尽可能的低,函数的种类尽可能的少,分母中尽量不含三角函数符号,能求值的一定要求值.1.已知sinα=,则sin4α-cos4α的值为( )A.-B.-C.D.解析 sin4α-cos4α=sin2α-cos2α23、=2sin2α-1=2×-1=-.答案 B点评 sin2α+cos2α=1是同角三角函数基本关系式中最常用的一个公式,公式变形较多,应用灵活是高考经常考查的内容之一.2.(浙江高考)若cosα+2sinα=-,则tanα等于( )A.B.2C.-D.-2解析 ∵cosα+2sinα=-,∴cos2α+4sinαcosα+4sin2α=5,∴=5,6用心爱心专心∴=5,∴tan2α-4tanα+4=0,∴(tanα-2)2=0,∴tanα=2.答案 B点评 形如asin2x+bsinxcosx+ccos2x的二次齐次式24、容易转化为关于tanx的代数式,在题目中,二者可以相互转化.3.已知tanθ=2,则sin2θ+sinθcosθ-2cos2θ等于( )A.-B.C.-D.解析 sin2θ+sinθ·cosθ-2cos2θ==,又tanθ=2,故原式==.答案 D点评 本题考查了三角函数知识,解决本题的关键是把分母看作1,然后分子、分母同除以c
11、kπ+12、,k∈Z}解析 sin2x>cos2x⇔13、sinx14、>15、cosx16、.在直角坐标系中作出单位圆及直线y=x,y=-x,根据三角函数线的定义知角x的终边应落在图中的阴影部分,故应选D.答案 D【思维升华】 单位圆中的三角函数线,可以直观、形象地表示一个角的各三角函数值,用它来处理三角函数中的某些问题,可得到明快、简洁的解答.四、同角三角函数基本关系式在求值中的应用已知sinα-cosα=-,π<α<,求tanα的值.解 方法一 由得5cos2α-cosα-2=0∴cosα=或cosα=-∵π<α<,∴cosα<0.∴cos17、α=-,∴sinα=-.因此tanα===2.方法二 ∵sinα-cosα=-,①∴(sinα-cosα)2=1-2sinαcosα=.2sinαcosα=.6用心爱心专心∴(sinα+cosα)2=1+2sinαcosα=1+=.∵π<α<,∴sinα<0,cosα<0,∴sinα+cosα<0∴sinα+cosα=-.②由①②组成的方程组得:sinα=-,cosα=-.∴tanα==2.【思维升华】 学会利用方程思想解三角题,对于sinα+cosα,sinαcosα,sinα-cosα这三个式子,已知其中一个式子的18、值,其余二式的值可以求出.五、平方关系sin2x+cos2x=1在三角化简、求值中的灵活运用化简下列各式:(1);(2).解 (1)原式==19、cos400°20、=21、cos40°22、=cos40°.(2)原式====-1.【思维升华】 所谓化简就是使表达式经过某种变形,使结果尽可能的简单,也就是使项数尽可能的少,次数尽可能的低,函数的种类尽可能的少,分母中尽量不含三角函数符号,能求值的一定要求值.1.已知sinα=,则sin4α-cos4α的值为( )A.-B.-C.D.解析 sin4α-cos4α=sin2α-cos2α23、=2sin2α-1=2×-1=-.答案 B点评 sin2α+cos2α=1是同角三角函数基本关系式中最常用的一个公式,公式变形较多,应用灵活是高考经常考查的内容之一.2.(浙江高考)若cosα+2sinα=-,则tanα等于( )A.B.2C.-D.-2解析 ∵cosα+2sinα=-,∴cos2α+4sinαcosα+4sin2α=5,∴=5,6用心爱心专心∴=5,∴tan2α-4tanα+4=0,∴(tanα-2)2=0,∴tanα=2.答案 B点评 形如asin2x+bsinxcosx+ccos2x的二次齐次式24、容易转化为关于tanx的代数式,在题目中,二者可以相互转化.3.已知tanθ=2,则sin2θ+sinθcosθ-2cos2θ等于( )A.-B.C.-D.解析 sin2θ+sinθ·cosθ-2cos2θ==,又tanθ=2,故原式==.答案 D点评 本题考查了三角函数知识,解决本题的关键是把分母看作1,然后分子、分母同除以c
12、,k∈Z}解析 sin2x>cos2x⇔
13、sinx
14、>
15、cosx
16、.在直角坐标系中作出单位圆及直线y=x,y=-x,根据三角函数线的定义知角x的终边应落在图中的阴影部分,故应选D.答案 D【思维升华】 单位圆中的三角函数线,可以直观、形象地表示一个角的各三角函数值,用它来处理三角函数中的某些问题,可得到明快、简洁的解答.四、同角三角函数基本关系式在求值中的应用已知sinα-cosα=-,π<α<,求tanα的值.解 方法一 由得5cos2α-cosα-2=0∴cosα=或cosα=-∵π<α<,∴cosα<0.∴cos
17、α=-,∴sinα=-.因此tanα===2.方法二 ∵sinα-cosα=-,①∴(sinα-cosα)2=1-2sinαcosα=.2sinαcosα=.6用心爱心专心∴(sinα+cosα)2=1+2sinαcosα=1+=.∵π<α<,∴sinα<0,cosα<0,∴sinα+cosα<0∴sinα+cosα=-.②由①②组成的方程组得:sinα=-,cosα=-.∴tanα==2.【思维升华】 学会利用方程思想解三角题,对于sinα+cosα,sinαcosα,sinα-cosα这三个式子,已知其中一个式子的
18、值,其余二式的值可以求出.五、平方关系sin2x+cos2x=1在三角化简、求值中的灵活运用化简下列各式:(1);(2).解 (1)原式==
19、cos400°
20、=
21、cos40°
22、=cos40°.(2)原式====-1.【思维升华】 所谓化简就是使表达式经过某种变形,使结果尽可能的简单,也就是使项数尽可能的少,次数尽可能的低,函数的种类尽可能的少,分母中尽量不含三角函数符号,能求值的一定要求值.1.已知sinα=,则sin4α-cos4α的值为( )A.-B.-C.D.解析 sin4α-cos4α=sin2α-cos2α
23、=2sin2α-1=2×-1=-.答案 B点评 sin2α+cos2α=1是同角三角函数基本关系式中最常用的一个公式,公式变形较多,应用灵活是高考经常考查的内容之一.2.(浙江高考)若cosα+2sinα=-,则tanα等于( )A.B.2C.-D.-2解析 ∵cosα+2sinα=-,∴cos2α+4sinαcosα+4sin2α=5,∴=5,6用心爱心专心∴=5,∴tan2α-4tanα+4=0,∴(tanα-2)2=0,∴tanα=2.答案 B点评 形如asin2x+bsinxcosx+ccos2x的二次齐次式
24、容易转化为关于tanx的代数式,在题目中,二者可以相互转化.3.已知tanθ=2,则sin2θ+sinθcosθ-2cos2θ等于( )A.-B.C.-D.解析 sin2θ+sinθ·cosθ-2cos2θ==,又tanθ=2,故原式==.答案 D点评 本题考查了三角函数知识,解决本题的关键是把分母看作1,然后分子、分母同除以c
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