《近世代》模拟试卷.doc

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1、《近世代数》模拟试卷一、（16分）叙述概念或命题1．正规子群；2．唯一分解环；3．代数数；4．鲁非尼-阿贝尔定理二、（12分）填空题1．设有限域的阶为81，则的特征。2．已知群中的元素的阶等于50，则的阶等于。3．一个有单位元的无零因子称为整环。4．如果710002601是一个国际标准书号，那么。三、（10分）设是群。证明：如果对任意的，有，则是交换群。四、（10分）证明：任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。五、（15分）设是四元数体，对H中任意元，定义其共轭。1．证明：是一个非负实数；2．对，，求，和。六、（15分）设，是整数环的理想，试求下列各理想，并简述理由。1．

2、；2．；3．七、（10分）设有置换，。1．求和；2．确定置换和的奇偶性。八、（12分）求剩余类加群Z12中每个元素的阶。《近世代数》试卷答案一、1．若H是群G的子群，且对每个，有，那么H称为是G的正规子群。2．设R是个整环，若对于R中每个非零非单位的元都有唯一分解，则称R为唯一分解环。3．有理数域上的代数元称为代数数。4．如果（特征为0），那么次的一般方程没有根式解。二、1．32．253．交换环4．6三、对于G中任意元x，y，由于，所以（对每个x，从可得）。四、设A是任意方阵，令，，则B是对称矩阵，而C是反对称矩阵，且。若令有，这里和分别为对称矩阵和反对称矩阵，则，而等式左边是对称矩阵，右边

3、是反对称矩阵，于是两边必须都等于0，即：，，所以，表示法唯一。五、1．2．，，六、1．；2．；3．七、1．，；2．两个都是偶置换。八、元素01234567891011阶1126431221234612