高三数学总复习学案6.pdf

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1、学案6　函数的奇偶性与周期性导学目标：1.了解函数奇偶性、周期性的含义.2.会判断奇偶性，会求函数的周期.3.会做有关函数单调性、奇偶性、周期性的综合问题．自主梳理1．函数奇偶性的定义如果对于函数f(x)定义域内任意一个x，都有______________，则称f(x)为奇函数；如果对于函数f(x)定义域内任意一个x，都有____________，则称f(x)为偶函数．2．奇偶函数的性质(1)f(x)为奇函数⇔f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝____；f(x)为偶函数⇔f(x)＝f(－x)＝f(

2、x

3、)⇔f(x)－f(－x)＝____

4、.(2)f(x)是偶函数⇔f(x)的图象关于____轴对称；f(x)是奇函数⇔f(x)的图象关于________对称．(3)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有________的单调性．3．函数的周期性(1)定义：如果存在一个非零常数T，使得对于函数定义域内的任意x，都有f(x＋T)＝________，则称f(x)为________函数，其中T称作f(x)的周期．若T存在一个最小的正数，则称它为f(x)的________________．TT(2)性质：①f(x＋T)＝f(x)常常写作f(x＋)＝f(x－)．22②如果

5、T是函数y＝f(x)的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是y＝f(x)的周期，即f(x＋kT)＝f(x)．1③若对于函数f(x)的定义域内任一个自变量的值x都有f(x＋a)＝－f(x)或f(x＋a)＝fx1或f(x＋a)＝－(a是常数且a≠0)，则f(x)是以______为一个周期的周期函数．fx自我检测1．已知函数f(x)＝(m－1)x2＋(m－2)x＋(m2－7m＋12)为偶函数，则m的值是()A．1B．2C．3D．42．(2011·茂名月考)如果奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数且最大值为5，那么f(x)在区间[－7，－3]上是(

6、)A．增函数且最小值是－5B．增函数且最大值是－5C．减函数且最大值是－5D．减函数且最小值是－513．函数y＝x－的图象()xA．关于原点对称B．关于直线y＝－x对称C．关于y轴对称D．关于直线y＝x对称4．(2009·江西改编)已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于x≥0，都有f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,2)时，f(x)＝log2(x＋1)，则f(－2012)＋f(2011)的值为()A．－2B．－1C．1D．2x＋1x＋a5．(2011·开封模拟)设函数f(x)＝为奇函数，则a＝________.x探究点一　函数

7、奇偶性的判定例1　判断下列函数的奇偶性．1－x11(1)f(x)＝(x＋1)；(2)f(x)＝x(＋)；1＋x2x－12(3)f(x)＝log2(x＋x2＋1)；(4)f(x)＝Error!变式迁移1　判断下列函数的奇偶性．(1)f(x)＝x2－x3；(2)f(x)＝x2－1＋1－x2；4－x2(3)f(x)＝.

8、x＋3

9、－3探究点二　函数单调性与奇偶性的综合应用例2　函数y＝f(x)(x≠0)是奇函数，且当x∈(0，＋∞)时是增函数，若f(1)＝0，求不等1式f[x(x－)]<0的解集．2变式迁移2(2011·承德模拟)已知函数f(x)＝x3＋x

10、，对任意的m∈[－2,2]，f(mx－2)＋f(x)<0恒成立，则x的取值范围为________．探究点三　函数性质的综合应用例3(2009·山东)已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，若方程f(x)＝m(m>0)，在区间[－8,8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4＝________.变式迁移3　定义在R上的函数f(x)是偶函数，且f(x)＝f(2－x)．若f(x)在区间[1,2]上是减函数，则f(x)()A．在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3,4]上是增

11、函数B．在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3,4]上是减函数C．在区间[－2，－1]上是减函数，在区间[3,4]上是增函数D．在区间[－2，－1]上是减函数，在区间[3,4]上是减函数转化与化归思想的应用例(12分)函数f(x)的定义域为D＝{x

12、x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f(4)＝1，f(3x＋1)＋f(2x－6)≤3，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围．【答题模板】解(1)∵对于任意x1，x2

13、∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，∴令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)，∴f(1)＝0.[2分](2