备战高考数学 高频考点归类分析（真题为例）：函数综合 .pdf

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1、函数的综合问题典型例题：例1.（2012年全国大纲卷理12分）设函数f(x)axcosx,x[0,]。（1）讨论f(x)的单调性；（2）设f(x)1sinx，求a的取值范围。【答案】解：f(x)asinx。（1）∵x[0,]，∴0sinx1。当a1时，f(x)0，f(x)在x[0,]上为单调递增函数；当a0时，f(x)0，f(x)在x[0,]上为单调递减函数；当0a1时，由f(x)0得sinxa，由f(x)0得0xarcsina或arcsi

2、nax；由f(x)0得arcsinaxarcsina。∴当0a1时fx在[0,arcsina]和[arcsina,]上为为单调递增函数；在[arcsina,arcsina]上为单调递减函数。2（2）由f(x)1sinx恒成立可得f()1a11a。22令g(x)sinxx(0x)，则g(x)cosx。222当x(0,arcsin)时，g(x)0，当x(arcsin,)时，g(x)0。22又g(0)g()0，

3、所以g(x)0，即xsinx(0x)2222故当a时，有f(x)xcosx，2①当0x时，xsinx，cosx1，所以f(x)1sinx。222②当x时，f(x)xcosx1(x)sin(x)1sinx。2222综上可知故所求a的取值范围为a。【考点】导数在研究函数中的运用，三角函数的有界性，。【解析】（1）利用三角函数的有界性，求解单调区间。（2）运用构造函数的思想，证明不等式。关键是找到合适的函数，运用导数证明最值大于或者小于零的

4、问题得到解决。132例2.（2012年全国大纲卷文12分）已知函数f(x)xxax．3（1）讨论f(x)的单调性；（2）设f(x)有两个极值点x，x，若过两点(x,f(x))，(x,f(x))的直线与lx轴的交点在曲线121122yf(x)上，求a的值．13222【答案】解：（1）∵f(x)xxax，∴f'(x)x2xa=x1a13①当a1时，f'(x)0，且仅当a=1，x=1时f'(x)=0。∴f(x)是增函数。②当a<1时，f'(x)=0有两个根x=11a。列表

5、如下：xf'(x)f(x)的增减性，11a＞0增函数11a，11a＜减函数11a，＞0增函数22（2）由题设知，x，x是f'(x)=0的两个根，∴a<1，且x=2xa，x=2xa。121122132122122∴f(x)xxax=x2xaxax=xax1111111133331222a=2xaax=a1x。11133332a同理，f(x)=a1x。22332a∴直线的解析式为ly=a1x。332aa设直

6、线与lx轴的交点为x0，0，则0=a1x0，解得x0=。332a1132代入f(x)xxax得33221aaaa2f(x0)a=12a17a6，32a12a12a12a12a2∵x0，f(x0)在x轴上，∴f(x0)=12a17a6=0，2a123解得，a=0或a=或a=。34【考点】函数的单调性和极值，导数的应用。【解析】（1）求出导函数，分区间讨论即可。（2）由x，x是f'(x)=0的两个根

7、和（1）的结论，得a<1，求出f(x)关于x的表达式和f(x)12112132关于x的表达式，从而得到直线的解析式。求出交点的横坐标代入lf(x)xxax，由其等于0，23求出a的值。x112例3.（2012年全国课标卷理12分）已知函数f(x)满足满足f(x)f(1)ef(0)xx；2（1）求f(x)的解析式及单调区间；12（2）若f(x)xaxb，求(a1)b的最大值。2x112x1【答案】解：（1）∵f(x)f(1)ef(0)xx，∴f(x)f(1)ef(0

8、)x。2x112令x1得，f(0)1。∴f(x)f(1)exx。21∴f(0)f(1)e1，得f(1)e。x12∴f(x)的解析式为f(x)exx。2xx设g(x)f(x)e1x，则g(x)e10。∴g(x)在xR上单调递增。又∵f(x)0f(0)时，x0，f(x)单调递增；f(x)0f(0)时，x0，f(x)单调递减。∴f(x)的单调区间