二次函数的性质和图象.ppt

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1、2.2.2二次函数的图象和性质诸城六中：王国伟二次函数是初等函数中的重要函数，在解决各类数学问题和实际问题中有着广泛的应用。在高中数学的学习中对二次函数的知识要做必要的提高和加深，二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系十分密切，揭示和认识它们的相互联系，以求相互为用，具有重要的意义。学习二次函数，首先要掌握它的定义、图象和性质，要会在各种条件下，应用待定系数法确定二次函数的解析式，要灵活应用二次函数的图象和性质分析问题和解决问题。深刻领会数形结合、函数方程等重要数学思想方法，对拓宽学生解题思路

2、、发展智力、培养能力，具有十分重要意义。函数y=ax2+bx+c(a≠0)叫做二次函数，它的定义域是R.特别地，当b=c=0时，则二次函数变为y=ax2(a≠0).它的图象是顶点为原点的抛物线，a>0时，开口向上；a<0时，开口向下.这个函数为偶函数，y轴为图象的对称轴。对于任意一个特殊的二次函数y=ax2，当x的绝对值无限地逐渐变小时，函数值的绝对值也随着无限地变得越来越小，其图象就从x轴的上方（或下方）无限地逼近x轴。在同一坐标系中，对于函数y=ax2，当a的绝对值逐渐变大时，它的图象为抛物线且

3、开口逐渐变小.y=ax^2.gsp例1.研究函数的图像与性质.解：（1）配方得所以函数y=f(x)的图像可以看作是由y=x2经一系列变换得到的，具体地说：先将y=x2的图像向左移动4个单位，再向下移动2个单位得到.y=c(x+4)^2-2.gsp（2）函数与x轴的交点是：函数与y轴的交点：函数的对称轴是x=－4，事实上如果一个函数f(x)满足：f(h+x)=f(h－x)，那么函数f(x)关于x=a对称.(－6，0)和(－2，0)（0，6）（3）函数图像的对称性质：（4）函数f(x)在(－∞,－4]上

4、是减函数，在[－4,+∞)上是增函数.（5）函数f(x)在x=－4时，取得最小值－2，记为ymin=－2.它的图象顶点为(－4，－2)例2.试述二次函数f(x)=－x2－4x+3的性质，并作出它的图象。（1）配方得f(x)=－(x+2)2+7.由－(x+2)2≤0得，该函数对任意实数x都有f(x)≤7，当且仅当x=－2时取等号，即f(－2)=7。这说明函数f(x)在x=－2时取得最大值7，记为ymax=7，所以函数图象的顶点时(－2，7).(2)求函数图象与x轴的交点.令－x2－4x+3=0，解得x

5、1=－2+，x2=－2－，说明函数的图象与x轴的交点坐标是(－2+,0)，(－2－,0).(3)画函数f(x)=－x2－4x+3的图象.因为f(x)=－(x+2)2+7.所以它的图象是由y=－x2的图象向左平移2个单位后，再向上平移7个单位得到.y-(x+a)^2+b.gsp(4)函数f(x)=－(x+2)2+7关于直线x=－2成轴对称图形，在区间(－∞，－2]上是增函数，在区间[－2，+∞)上是减函数.二次函数的性质：一般地，对于二次函数f(x)=ax2+bx+c，都可以通过配方化为其中（1）函数

6、的图象是一条抛物线，抛物线的顶点坐标是(h，k)，抛物线的对称轴是直线x=h；（2）当a>0时，抛物线开口向上，在x=h处取最小值ymin=k=f(h)；在区间(－∞,h]上是减函数，在[h,+∞)上是增函数.（3）当a<0时，抛物线开口向下，在x=h处取最大值ymax=k=f(h)；在区间(－∞,h]上是增函数，在[h,+∞)上是减函数.例3.求函数y=3x2+2x+1的值域和它的图象的对称轴，并说出它在哪个区间上是增函数？在哪个区间上是减函数？解：因为函数y=3x2+2x+1=3(x+)2+,所

7、以ymin=f()=.函数的值域是[,+∞).函数的对称轴是x=－它在区间(－∞,－]上是减函数，在区间[－,+∞)上是增函数。例4.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，试判断下列各式的正负号.ab，ac，a+b+c，a－b+c，2a+b，2a－b.解：a<0，b>0，c<0，所以ab<0，ac>0，f(1)>0，所以a+b+c>0，f(－1)>0，所以a－b+c<0，<1，a<0，所以－b>2a，2a+b<0;2a－b<0.例5.已知抛物线y=的对称轴是x=2，（1）求m的值，并判断抛

8、物线开口方向；（2）求函数的最值及单调区间。解：（1）因为抛物线的对称轴是x=2，所以，解得m=2，m－1>0，抛物线的开口向上.（2）原函数整理得y=x2－4x+3=(x－2)2－1.所以当x=2时，ymin=－1.单调增区间为[2,+∞)，单调减区间为(－∞,2].例6.已知函数f(x)=x2－4x+1，不计算函数值，比较f(－1)、f(1)、f(4)、f(5)的大小。解：f(x)=x2－4x+1=(x－2)2－3，对称轴是x=2，在区间[2,+∞)上是增函数.f