垂直关系的判定习题-课件(北师大必修2).ppt

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1、[例1]如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，M是圆周上任意一点，AN⊥PM，垂足为N.求证：AN⊥平面PBM.[研一题][自主解答]设圆O所在的平面为α，已知PA⊥α，且BMα，∴PA⊥BM.又∵AB为⊙O的直径，点M为圆周上一点，∴AM⊥BM.∵直线PA∩AM＝A，∴BM⊥平面PAM.又AN平面PAM，∴BM⊥AN.这样，AN与PM，BM两条相交直线垂直．故AN⊥平面PBM.[悟一法](1)直线与平面垂直的判定(或)证明常用的方法是线面垂直的判定定理，要注意定理中的两个关键条件：①面内的两条相交直线；②都垂直．(2

2、)要证明线面垂直，先证线线垂直，而证线线垂直，通常又借助线面垂直，它们是相互转化的．[通一类]1．如图，Rt△ABC所在平面外有一点S，且SA＝SB＝SC，点D为斜边AC的中点．(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.证明：(1)∵SA＝SC，D为AC的中点，∴SD⊥AC.在Rt△ABC中，AD＝DC＝BD.又∵SB＝SA，SD＝SD，∴△ADS≌△BDS.∴SD⊥BD.又AC∩BD＝D，∴SD⊥平面ABC.(2)∵BA＝BC，D为AC中点，∴BD⊥AC.又由(1)知SD⊥平面ABC，∴SD⊥BD

3、.于是BD垂直于平面SAC内的两条相交直线．∴BD⊥平面SAC.[研一题][例2]如右图，过S引三条长度相等但不共面的线段SA，SB，SC，且∠ASB＝∠ASC＝60°，∠BSC＝90°.求证：平面ABC⊥平面BSC.[自主解答]法一：取BC的中点D，连接AD，SD.∵∠ASB＝∠ASC，且SA＝SB＝SC，∴AS＝AB＝AC.∴AD⊥BC.又△ABS是正三角形，△BSC为等腰直角三角形，∴BD＝SD.∴AD2＋SD2＝AD2＋BD2＝AB2＝AS2.由勾股定理的逆定理，知AD⊥SD.又∵SD∩BC＝D，∴AD⊥平面BSC.又AD

4、平面ABC，∴平面ABC⊥平面BSC.[悟一法]常用的两个平面互相垂直的判定方法：(1)定义法，即证明这两个平面所成的二面角是直二面角；(2)判定定理，即一个平面经过另一个平面内的一条垂线，则这两个平面互相垂直；(3)两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于第三个平面．对于判定定理，可简述为“线面垂直，则面面垂直”．[通一类]2．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC，点D是AB的中点，求证：平面CA1D⊥平面AA1B1B.证明：∵AC＝BC，点D是AB的中点，∴CD⊥AB.在直三棱柱ABC－A1B1C1

5、中，B1B⊥平面ABC，又CD平面ABC，∴CD⊥B1B.又∵AB∩B1B＝B，∴CD⊥平面AA1B1B.又∵CD平面CA1D，∴平面CA1D⊥平面AA1B1B.在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a(a>0)，PA⊥平面AC，且PA＝1，则BC边上是否存在点Q，使得PQ⊥QD？并说明理由．[巧思]由条件可知AQ⊥QD.根据半圆上的圆周角是直角．将BC边是否存在点的问题转化为以AD为直径的圆是否与BC边有公共点的问题来解决．[妙解]∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥QD.若PQ⊥QD，则QD⊥平面PAQ.∴AQ⊥QD.当a＝2时，以A

6、D为直径的圆与边BC相切，故只有一个点Q，使PQ⊥QD.当a>2时，以AD为直径的圆与边BC相交，故只有两个点Q，使PQ⊥QD.当0