一、二重积分概念.ppt

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1、一、二重积分的概念二、二重积分的性质第四模块函数的积分学第十节　二重积分的概念与性质一、二重积分的概念例1曲顶柱体的体积.设有一立体的底是xy面上的有界闭区域D，侧面是以D的边界曲线为准线、母线平行于z轴的柱面，顶是由二元非负连续函数z=f(x,y)所表示的曲面.这个立体称为D上的曲顶柱体.试求该曲顶柱体的体积.1.引例DxyzO称为子域：1,2,···,n,并以i(i=1,2,···,n)表示第i个子域的面积，(1)分割.将区域D任意分成n个小区域，然后对每个子域作以它的边界曲线为准线、母线平行z轴的柱面.这些柱面就把原来的曲顶柱体分成n个小曲顶柱体.解曲顶柱体

2、的体积(2)近似.在每个小曲顶柱体的底i上任取一点(i,i)(i=1,2,···,n)，用以f(i,i)为高、i为底的平顶柱体的体积f(i,i)i，近似替代第i个小曲顶柱体的体积，即Vif(i,i)i.(3)求和.将这n个小平顶柱体的体积相加，得到原曲顶柱体体积的近似值，即(4)取极限.将区域D无限细分且每一个子域趋向于缩成一点，这个近似值就趋向于曲顶柱体的体积，即其中是这n个子域的最大直径(有界闭区域的直径是指区域中任意两点间距离的最大值).例2设有一平面薄片占有xy平面上的区域D，如图，平面薄片的质量.它的面密度(单位面积上的质量)为D上

3、的连续函数(x,y).求该平面薄片的质量.即其质量可近似看成是均匀分布的.于是在i上任取一点(i,i)，第i块薄片的质量的近似值为将薄片(即区域D)任意分成n个子域1,2,···,n，并以i(i=1,2,···,n)表示第i个子域的面积.解(1)分割.因此当i的直径很小时，(2)近似．由于(x,y)在D上连续，这个子域上的面密度的变化也很小，(4)取极限.当n个子域的最大直径0时，上述和式的极限就是所求薄片的质量，即将这n个看成质量均匀分布的小块的质量相加得到整个平面薄片质量的近似值，(3)求和.即2.二重积分的定义定义设二元函数z=f(x,y

4、)定义在有界闭区域D上.将区域D任意分成n个子域i(i=1,2,···,n),并以i表示第i个子域的面积.在i上任取一点(i,i)，作和如果当各个子域的直径中的最大值趋于零时，此和式的极限存在，则称此极限为函数f(x,y)在闭区域D上的二重积分，这时，称f(x,y)在D上可积，其中f(x,y)称为被积函数，称为被积表达式，d称为面积元素，D称为积分域，称为二重积分号.记为即二重积分的几何意义就是曲顶柱体的体积；当时，柱体在xy平面的下方，二重积分表示该柱体体积的相反值，即f(x,y)的绝对值在D上的二重积分才是该曲顶柱体的体积；当f(x,y)在定义区域D上有正

5、有负时,则二重积分的值为3.二重积分的几何意义当f(x,y)0时，≥xy平面上方柱体体积之和减去下方柱体体积之差.二、二重积分的性质性质1被积函数中的常数因子可以提到二重积分号的外面，即性质2函数的和(或差)的二重积分等于各个函数的二重积分的和(或差)，即性质3如果区域D被分成两个子区域D1与D2，则在D上的二重积分等于各子区域D1、D2上的二重积分之和，即这个性质表明二重积分对于积分区域具有可加性.性质4如果在D上，f(x,y)=1，且D的面积为，则性质5如果在D上，则推论函数在D上的二重积分的绝对值不大于函数的绝对值在D上的二重积分.即≤≤≤性质6如果M、m分别是函数f(x

6、,y)在D上的最大值与最小值，为区域D的面积，则性质7(二重积分中值定理)设函数f(x,y)在有界闭区域D上连续，记是D的面积，则在D上至少存在一点(,)，使得≤≤