二重积分的概念和性质.ppt

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1、第九章重积分第一节二重积分的概念与性质1、二重积分的概念2、二重积分的性质解法:类似定积分解决问题的思想:一、二重积分的概念1.曲顶柱体的体积给定曲顶柱体:底：xoy面上的闭区域D顶:连续曲面侧面：以D的边界为准线,母线平行于z轴的柱面求其体积.“大化小,常代变,近似和,求极限”机动目录上页下页返回结束1)“大化小”用任意曲线网分D为n个区域以它们为底把曲顶柱体分为n个2)“常代变”在每个3)“近似和”则中任取一点小曲顶柱体机动目录上页下页返回结束4)“取极限”令机动目录上页下页返回结束2.平面薄片的质量有一个平面薄片,在x

2、oy平面上占有区域D,计算该薄片的质量M.度为设D的面积为,则若非常数,仍可用其面密“大化小,常代变,近似和,求极限”解决.1)“大化小”用任意曲线网分D为n个小区域相应把薄片也分为小区域.机动目录上页下页返回结束2)“常代变”中任取一点3)“近似和”4)“取极限”则第k小块的质量机动目录上页下页返回结束两个问题的共性：(1)解决问题的步骤相同(2)所求量的结构式相同“大化小,常代变,近似和,取极限”曲顶柱体体积:平面薄片的质量:机动目录上页下页返回结束定义:将区域D任意分成n个小区域任取一点若存在一个常数I,使可积,在D

3、上的二重积分.积分和积分域被积函数积分表达式面积元素记作是定义在有界区域D上的有界函数,机动目录上页下页返回结束引例1中曲顶柱体体积:引例2中平面薄板的质量:如果在D上可积,也常二重积分记作这时分区域D,因此面积元素可用平行坐标轴的直线来划记作机动目录上页下页返回结束二重积分存在定理:若函数定理2.(证明略)定理1.在D上可积.限个点或有限个光滑曲线外都连续,积.在有界闭区域D上连续,则若有界函数在有界闭区域D上除去有例如,在D:上二重积分存在;在D上二重积分不存在.机动目录上页下页返回结束为D的面积,则机动目录上页下页返

4、回结束二、二重积分的性质特别,由于则4.若在D上5.设D的面积为,则有机动目录上页下页返回结束6.(二重积分的中值定理)证:由性质5可知,由连续函数介值定理,至少有一点在闭区域D上为D的面积,则至少存在一点使使连续,因此机动目录上页下页返回结束例1.比较下列积分的大小:其中解:积分域D的边界为圆周它与x轴交于点(1,0),而域D位从而于直线的上方,故在D上机动目录上页下页返回结束例2.估计下列积分之值解:D的面积为由于积分性质5即:1.96I2D机动目录上页下页返回结束作业：习题9-14（1）（2）（3）（4）5（1

5、）（3）