有限自由度稳定问题计算.ppt

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1、有限自由度稳定问题计算重点：稳定自由度数目静力法、能量法等效为单个压杆难点：等效为单个压杆稳定方程的建立一、自由度的确定决定一个体系变形形式的独立位移参数（或称坐标）的数目称为体系的自由度。稳定问题中的体系变形形式是指：临界状态的一个新的平衡形式（失稳时的形式），它满足边界条件。2.基本假定：1.自由度的概念1）受弯曲杆件不计轴向变形2）受弯曲杆件发生侧移的方向垂直于杆轴例题2确定图示结构的自由度。ABCEAEIEAEI1=∞EA1=∞P例题1确定图示结构的自由度。EI1=∞EIEIEIPABAB杆受压，它的失稳

2、只能是AB杆的转角（或B点的水平位移）发生。故为1个自由度。AB、BC两杆受压，失稳时AB、BC各自有独立的转角（或A点，C点的独立竖向位移）故为2个自由度PEI1=∞ABCDAB、BC、CD三杆受压，它们各自有独立的转角，故为3个自由度例题3确定图示结构的自由度。PEI1=∞ABCD例题4确定图示结构的自由度EI1=∞P例题5确定图示结构的自由度EIEI1=∞EI1=∞EAEApEIEI1=∞EI1=∞EA=∞pEA=∞二、稳定计算的方法-----临界力Plj与失稳模态的画法1．静力法分析n个自由度体系时，可对

3、新的变形状态建立n个平衡方程，是关于n个独力位移参数的齐次方程。当有非零解时（产生失稳时，即n个新位移不全为零），其系数行列式称为稳定方程，它有n个实根；即n个特征值，其中最小者即为临界荷，其对应的特征向量即为失稳模态。2．能量法先设定一个可能的失稳变形模态，用n个位移参数α！，α2，，，αn表达出应变势能U和荷载势能V的变化。设，п=U+V，按势能驻值原理由，，的任意性，必有：此为齐次方程组，有非零解的条件是其系数行列式同样，称为稳定方程，它有n个实根；即n个特征值，其中最小者即为临界荷载，第i个特征值对应的特

4、征向量即为位移模态。例1．求稳定方程，确定临界荷载，画出失稳模态。L2LPPEI=∞EI=∞KNKNABC解：1）两个自由度体系，以B、C两点的竖向位移为参数画出失稳模态PPy2y1KNy2KNy1静力法2）取BC为研究对象，建立平衡方程PKNy2y1-y2BCΣMB=0，2LKNy2+P（y1-y2）=0PPy2y1KNy2KNy1P即，Py1+（2LKN-P）y2=0---------------------（1）取整体为研究对象,建立平衡方程,ΣY=0，得：VA=KNy1+KNy2（），HA=2P（）PPy

5、2y1KNy2KNy1PVAHA取AB为研究对象,ΣMB=0，VAL-HAy1=0VAHAy1（KNL-2P）y1+KNLy2=0----------------------（2）3）发生失稳时，y1，y2不全为零，所以（1）、（2）两式的系数行列式为零-----------------(1)-----------------(2)-----------稳定方程注意:较大者情况出现必须人为安排，否则不会发生4）失稳模态-----------------(1)-----------------(2)把代入(1)式得

6、:令,则由此画出失稳模态1.00.236能量法PPy2y1KNy2KNy1P弹簧的变形势能力功势能变化ABΔABy1By1Cy2以下求解ΔBC和ΔABABΔABy1By1Cy2(a)图(b)图由图（a）的几何关系同理，由图（b）可得按势能驻值原理系数行列式D=0，得稳定方程此方程与静力法得到的一致例2．求稳定方程，确定临界荷载，画出失稳模态。EI1=∞EI1=∞LLEIEIEA=∞EA=∞P/2PABCDEF解：1）两个自由度，B、C两处的水平位移与2）由于CF、BE杆的EA=∞，所以E、F两处的水平位移也是与由

7、于DEF杆的作用就是限制B、C两点的侧移，因此，原题可等价为图（b）所示结构的失稳。EI1=∞EI1=∞LLEIEIEA=∞EA=∞P/2PABCDEF图（b）yCyBP/2PRCRBKCKB3）当yB，yC发生时各自产生的约束力RB与RC基本问题DEFyB=1K21K111yC=1K12K2236EI/7L230EI/7L2K21K11yB=1时的M图12EI/7L2K22K126EI/7L2yC=1时的M图12EI/7L2K22K126EI/7L2yC=1时的M图36EI/7L230EI/7L2K21K11y

8、B=1时的M图DEFK12,K11VEFVED求系数用的隔离体K21,K22VEF求系数用的隔离体图（b）yCyBP/2PRCRBKCKB剩下的问题如图（b）所示，其解答过程同例题1EA不是无穷大，怎么计算？基本问题DEFDEFP=1DEFP=1反求得：RB，RC例3．求稳定方程，确定临界荷载，画出失稳模态。解：1)一个自由度，B点的水平位移y（或AB杆的弦转角）PL1L