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1、第八章习题课机动目录上页下页返回结束一、基本概念二、多元函数微分法三、多元函数微分法的应用多元函数微分法一、基本概念连续性偏导数存在方向导数存在可微性1.多元函数的定义、极限、连续定义域及对应规律判断极限不存在及求极限的方法函数的连续性及其性质2.几个基本概念的关系机动目录上页下页返回结束思考与练习机动目录上页下页返回结束1.讨论二重极限解法1解法2令解法3令时,下列算法是否正确?分析:解法1解法2令机动目录上页下页返回结束此法第一步排除了沿坐标轴趋于原点的情况,此法排除了沿曲线趋于原点的情况.此时极限为1.第二步未考虑分母变化的所有情况,解法3
2、令机动目录上页下页返回结束此法忽略了的任意性,极限不存在!由以上分析可见,三种解法都不对,因为都不能保证自变量在定义域内以任意方式趋于原点.特别要注意,在某些情况下可以利用极坐标求极限,但要注意在定义域内r,的变化应该是任意的.同时还可看到,本题极限实际上不存在.提示:利用故f在(0,0)连续;知在点(0,0)处连续且偏导数存在,但不可微.2.证明:机动目录上页下页返回结束而所以f在点(0,0)不可微!机动目录上页下页返回结束例1.已知求出的表达式.解法1令即解法2以下与解法1相同.则且机动目录上页下页返回结束二、多元函数微分法显示结构隐式结
3、构1.分析复合结构(画变量关系图)自变量个数=变量总个数–方程总个数自变量与因变量由所求对象判定2.正确使用求导法则“分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导”注意正确使用求导符号3.利用一阶微分形式不变性机动目录上页下页返回结束例2.设其中f与F分别具解法1方程两边对x求导,得有一阶导数或偏导数,求(99考研)机动目录上页下页返回结束解法2方程两边求微分,得化简消去即可得机动目录上页下页返回结束例3.设有二阶连续偏导数,且求解:机动目录上页下页返回结束练习题1.设函数f二阶连续可微,求下列函数的二阶偏导数2.同济(下)P73题12机动目录上页下页
4、返回结束解答提示:第1题机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束P73题12设求提示:机动目录上页下页返回结束①②利用行列式解出du,dv：机动目录上页下页返回结束代入①即得代入②即得有连续的一阶偏导数,及分别由下两式确定求又函数答案:(2001考研）机动目录上页下页返回结束3.设三、多元函数微分法的应用1.在几何中的应用求曲线在切线及法平面(关键:抓住切向量)求曲面的切平面及法线(关键:抓住法向量)2.极值与最值问题极值的必要条件与充分条件求条件极值的方法(消元法,拉格朗日乘数法)求解最值问题3.在微分方程变形等中的应用最小二乘法机动目
5、录上页下页返回结束例4.在第一卦限作椭球面的切平面,使其在三坐标轴上的截距的平方和最小,并求切点.解:设切点为则切平面的法向量为即切平面方程机动目录上页下页返回结束问题归结为求在条件下的条件极值问题.设拉格朗日函数机动目录上页下页返回结束切平面在三坐标轴上的截距为令由实际意义可知为所求切点.机动目录上页下页返回结束唯一驻点例5.求旋转抛物面与平面之间的最短距离.解：设为抛物面上任一点，则P的距离为问题归结为约束条件:目标函数:作拉氏函数机动目录上页下页返回结束到平面令解此方程组得唯一驻点由实际意义最小值存在,故机动目录上页下页返回结束上求一点,使
6、该点处的法线垂直于练习题：1.在曲面并写出该法线方程.提示:设所求点为则法线方程为利用得平面法线垂直于平面点在曲面上机动目录上页下页返回结束2.在第一卦限内作椭球面的切平面使与三坐标面围成的四面体体积最小,并求此体积.提示:设切点为用拉格朗日乘数法可求出则切平面为所指四面体围体积V最小等价于f(x,y,z)=xyz最大,故取拉格朗日函数例4目录上页下页返回结束(见例4)作业P735，6，10，15，17机动目录上页下页返回结束
