四点共圆的几种常用判定方法_欧阳晓善.pdf

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1、．．．CZSFD数学2011．12四点共圆是一个常用的知识，它除了可以灵活运用于角与角之间的等量转换外，还可以解决与圆幂定理(相交弦定理和切割线定理)相关的问题。四点共圆的判定是个难点，现归纳总结出四点共圆的几种常用判定方法，供同学们学习参考。一、直接找出一点到所证四点的距离相等例1如图1所示，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，四条边AB、BC、CD、DA的中点分别为E、F、G、H。求证:E、F、G、H四点共圆。分析:由于E、F、G、H是菱形四边中点，从菱形的性质可知:E、F、G、H应在对角线交点O为圆心的圆上，因此可证E、

2、F、G、H四点到O点的距离相等即可。证明:连接OE、OF、OG、OH，∵四边形ABCD是菱形，∴AB⊥BD，AB=BD=CD=DA。又∵在Rt△AOB、Rt△BOC、Rt△COD、Rt△AOD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，111∴OE=AB，OF=BC，OG=CD，图1222·14·．．．CZSFD数学2011．121OH=AD。2又∵AB=BC=CD=DA(已证)，∴OE=OF=OG=OH。∴E、F、G、H四点共圆。二、证明四个点构成的四边形的对角互补或外角等于内对角例2如图2所示，已知四边形ABCD是平行

3、四边形，过点A和点B的圆与AD、BC分别交于E、F点。求证:C、D、E、F四点共圆。分析:欲证C、D、E、F四点共圆，可证以该四点构成的四边形中，一组对角互补或外角等于内对角即可。由此，连接EF构成四边形EFCD后，证明∠BFE=∠D即可。证明:连接EF，∵四边形ABFE是圆内接四边形，∴∠A+∠BFE=180°。又∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A+∠D=180°。∴∠BFE=∠D。图2∴C、D、E、F四点共圆。三、利用相交弦定理以及切割线定理的逆定理证明四点共圆例3(第19届美国数学奥林匹克试题)如图3所示，给出锐角△ABC，

4、以AB为直径的圆与AB边的高CC'及其延长线交于点M、N，以AC为直径的圆与AC边的高BB'及其延长线交于点P、Q。·15·．．．CZSFD数学2011．12求证:M、N、P、Q四点共圆。分析:由于所证四点M、N、P、Q刚好是相交线段MN与PQ的端点，不妨设交点为K，此时只需证明MK·KN=PK·KQ成立即可。又因为两圆相交，自然想到过A点作两圆的公共弦。由于点K是重心，AB是圆的直径，所以公共弦经过K点且与BC的垂足为两圆的另一交点。利用两圆中的相交弦定理即可证。证明:连接AK并延长与BC相交于E，∵K为△ABC高线的交点，∴AK

5、⊥BC，垂足为E。∴∠AEB=90°。又∵AB为圆的直径，不妨设两圆另一交点为E'∴∠AE'B=90°。∴点E与点E'重合，即点E为两圆的交点。在以AB为直径的圆中，有:KA·KE=KN·KM。在以AC为直径的圆中，有:KA·KN=KP·KQ。∴KN·KM=KP·KQ。∴M、N、P、Q四点共圆。四、证明线段同侧的两点对线段图3的张角相等，则这两点以及线段的两个端点共圆例4(第27届莫斯科数学奥林匹克试题)如图4所示，A、B、C三点共线，点O在A、B、C所在直线外，O1、O2、O3分别为△OAB、△OBC、△OCA的外心。·16·．．

6、．CZSFD数学2011．12求证:O、O1、O2、O3四点共圆。分析:欲证点O、点O1、点O2、点O3四点共圆，可将这四点连结成四边形OO1O3O2，然后证明线段OO1同侧的张角∠OO2O1=OO3O1即可。证明:分别连接OO1、OO2、OO3、O1O2、O1O3、O2O3、AO3、BO2，∵O1、O2分别为△OAB、△OBC的外心，∴OB是⊙O1和⊙O2的公共弦，O1O2是⊙O1和⊙O2的圆心距。∴O1O2垂直且平分OB。在△OBC的外接圆⊙O2中，有:1∠OO2O1=∠OO2B=∠OCB。21同理可得:∠OO3O1=∠OO3A

7、2=∠OCA。∴∠OO2O1=∠OO301。∴O、O1、O2、O3四点共圆。图4五、要证五点共圆时，可证明其中两组四点共圆例5如图5所示，四边形ABCD是圆的内接正方形，对角线AC、BD相交于O点，E、F是劣弧AB、BC的中点，弦DE分别交AB、AC于点P和点Q，弦DF分别交BC、AC于点S和点R。求证B、P、Q、R、S五点共圆。分析:由于点P与点S，点Q与点R关于BD对称，所以只要证明B、P、Q、R四点共圆即可。从而只需证∠AQP=·17·．．．CZSFD数学2011．121∠PBR。根据题意可得:∠AQP=45°+×45°=67

8、．5°。因2此只需求出∠PBR=67．5°即可，连接BR即得。证明:连接BR，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABD=∠OAD=∠ADB=∠BDC=45°。又∵点E为劣弧AB的中心，11∴∠ADE=∠ADB=×45°=22．5°22∵∠