证明四点共圆的方法.pdf

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1、高中数学证明四点共圆的常见方法思路一：先从四点中任选出三点作一圆，然后证明第四点也在这个圆上；思路二：直接证明这四点到某一定点的距离都相等，从而确定它们共圆；思路三：运用有关的定理或结论（1）共斜边的两个直角三角形，它们的四个顶点共圆，且直角三角形的斜边为圆的直径。（2）共底边的两个三角形顶角相等，且在底边的同侧，则四个顶点共圆。注意，以下涉及到平面四边形的都指的是凸四边形，凹四边形结论不成立。（3）对于凸四边形ABCD，对角互补则四点共圆。（如下图1）（4）凸四边形的一个外角等于其内对角，则四边形的四个顶点共圆。（5）相交弦定理的逆定理：对于凸四边形ABCD，其对角线AC、BD交于点

2、P，若APPCBPPD，则A、B、C、D四点共圆。（如下图2）（6）割线定理的逆定理：对于凸四边形ABCD，其边的延长线AB、CD交于点P，若PAPBPCPD，则A、B、C、D四点共圆。（如下图3）（7）托勒密定理的逆定理：对于凸四边形ABCD，若ABCDADBCACBD，则A、B、C、D四点共圆。CCDDCDPPAAABBB图（1）图（2）图（3）下面用反证法简单证明性质（3），即：对于凸四边形ABCD，对角互补四点共圆。要说明的是，反证法本身也是证明四点共圆的一个有效方法。CCDOAB证明：（反证法）过A，B，D作圆O，假设C不在圆O上，则C在圆外或圆内，

3、若C在圆外，设BC交圆O于C，连结DC，根据圆内接四边形的性质得∠A+∠DCB=180°，∵∠A+∠C=180°，∴∠DCB=∠C，故假设错误，原命题成立。对于理科学有余力的同学，建议延伸阅读托勒密定理、塞瓦定理、西姆松定理和梅尼劳斯定理及其有关推论。