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1、习题课一、与定积分概念有关的问题的解法二、有关定积分计算和证明的方法定积分及其相关问题第五章一、与定积分概念有关的问题的解法1.用定积分概念与性质求极限2.用定积分性质估值3.与变限积分有关的问题例1.求解:因为时,所以利用夹逼准则得1)思考例1下列做法对吗?利用积分中值定理不对!因为依赖于且说明:2)此类问题放大或缩小时一般应保留含参数的项.故没理由认为解：将数列适当放大和缩小，以简化成积分和形式已知利用夹逼准则可知(1998考研)例2.求思考:提示:由上题故练习:1.求极限解：原式2.求极限
2、提示：原式左边=右边例3.估计下列积分值解:因为∴即例4.证明证:令则令得故例5.设在上是单调递减的连续函数，试证都有不等式证明：显然时结论成立.(用积分中值定理)当时,故所给不等式成立.明对于任何例6.且由方程确定y是x的函数,求解：方程两端对x求导,得令x=1,得再对y求导,得故例7.求可微函数f(x)使满足解:等式两边对x求导,得不妨设f(x)≠0,则注意f(0)=0,得例8.求多项式f(x)使它满足方程解:令则代入原方程得两边求导:可见f(x)应为二次多项式,设代入①式比较同次幂系数,得
3、故①再求导:二、有关定积分计算和证明的方法1.熟练掌握定积分计算的常用公式和方法2.注意特殊形式定积分的计算3.利用各种积分技巧计算定积分4.有关定积分命题的证明方法思考:下列作法是否正确?例9.求解:令则原式例10.选择一个常数c,使解:令则因为被积函数为奇函数,故选择c使即可使原式为0.例11.设解:例12.如图,曲线C的方程为解:是它的一个拐点,线,其交点为(2,4),设函数f(x)具有三阶连续导数,计算定积分直线l1与l2分别是曲线C在点(0,0)与(3,2)处的切(2005考研)＝04
4、3211234xO例13.若解:令试证:则因为对右端第二个积分令综上所述例14.证明恒等式证:令则因此又故所证等式成立.例15.试证使分析:即证故作辅助函数至少存在一点即证明:令在上连续,在至少使即因在上连续且不为0,从而不变号,因此故所证等式成立.故由罗尔定理知,存在一点思考:本题能否用柯西中值定理证明?如果能,怎样设辅助函数?要证:提示:设辅助函数例15例16.设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且(1)在(a,b)内f(x)>0;(2)在(a,b)内存在点,使(3)在(
5、a,b)内存在与相异的点,使(2003考研)证:(1)由f(x)在[a,b]上连续,知f(a)=0.所以f(x)在(a,b)内单调增,因此(2)设满足柯西中值定理条件,于是存在即(3)因在[a,]上用拉格朗日中值定理代入(2)中结论得因此得例16题例17.设证:设且试证:则故F(x)单调不减,即②成立.②
