特殊函数的数值计算综述.pdf

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1、第9卷第4期计算物理ol.V9,No.4199212.年月HINCESEJOURNALOFOMCPUTATIONALPHYSISCDec,1992特殊函数的数值计算综述张善杰(南京大学信息物理系,210008),以计算摘要本文首先介绍了在科技工作中常遇到的各类特殊函数Bessel函数和椭圆积分为例,讨论。如采用小宗量级数了在计算大多数特殊函数中所遇到的有关算法的一些共性问题展开式,大宗量渐近式,多项式近似,递推法,迭代法计算等。最后还讨论了计算某些特殊函数的零点及其它有关数值计算问题.关健词特殊函数级数展开式渐近式递推公式迭代法一、引言在研究工程和物理问题时,经常会遇

2、到一些特定的微分方程的解和某些特定形式的积分.除少数例外,由于它们不能用初等函数,为便于研究和应用,已将它们作为特殊函数,以闭式表示并赋有惯用名称和符。,,号有关这些函数在数理方法工程应用数学数学手册及特殊函数书中均有不同程度的分析和讨论;在程序汇编中也可找到某些附有简短算法说明的特殊。函数程序当我们研究的间题的数学模型涉及到的微分方程或积分可化为标准形式的特定微分方程或特定积分时,就可引用现成的结果和计算程序。因而了解和熟悉特殊函数所满足的微分方程或特定积分的形式及其计算无。,,,疑是有益的需要指出微分方程的解实质上就是方程的积分其解可用积分形式表示;另方面特定积分

3、也对应有特定的微分方程,其解可用无穷级数表示。下面所列为一些常见的特殊函数。按惯用的特殊,可分为由微分方程的级数解和由特定积分所函数定义定义的特殊。函数两大类特殊函数及其所满足的常橄分方程任vBessel函J,z,J_,(z)和“+砂`+:,一vZ)夕=o意阶数()(、z,`n整数阶第一二类essex函z“+十一。,一。B数人()乙()为刁(z)y、,/essel函数xxz,十十一。+,一。第一二类球B汽()玖()加二[了(冬)勺乙、,。`Bessel函x尤x“+一+n,)=o第一二类变型数几()()为划(犷夕evnrx,ex,erx,ex“`Kli函数bebikki

4、为+xy一(份十护)y=0A`,y’,iAyr函数(x)尽(x)一xy二0、nder函x,lxZ夕“一2`+nn+l=0第一二类eLge数凡()忿(x)(一)习()夕、,,nder_。第一二类缔合eLge刃(x)公(x)以一x一)y’`一Z习夕十【ntn十l)一下t耐竺二rjy一U1—人ateu.x,宁,sx,l’+osMhi函数ce()气(叮)夕(又一ZqcxZ)夕=0、,,二类变型Mathieux叮(”s。夕’,+又一ZoshZx少=0第一函数万川气()M(qc)(x,叮)或eC.x,叮),,(x,叮);,,x,叮),(&耐吼(,)x,叮)耐凡(a,,。,xx,“

5、e一a口超几何函数F(b)(l一x)夕+[(+b+l)xly乙妙=ouera,,e,x“`合流超几何函数(Kmm函数)M(b)习+(b一x)y一刀二O1991年12月31日收到来稿。第9卷423计算物理、,2,2第一二类旋转长椭球角函数和径函数。(卜),卜(*一犷),一“箭箭一各e,叮,e,,e,,e,2一,一2+,一“烈()烈(,)R男(亡)尺昙(古)。(;,、“睿,釜蓄一丹、二类旋转扁椭球角,2,。2一一0第一函数和径函数:(卜)卜`“,,命备一寿ie,刀,ie,,e,,,2’’烈-()嗽-(叹)尺公(一ii亡)丑黑(一ici亡):`;+,,,,一`“亡一r),一

6、0釜诱一兴、,,,、第一二类抛物柱函数几x()K(x)或U(ax)1犷。,二。+,y十Lv十:干.一代厂)y二。()()U一冬`乙兮esevx“`n第一类Chbyh多项式兀()(1一犷)y一习十加=0esev。x,“`nn第二类Chbyh多项式U()(l一x)夕一3划+(+2)夕=0aerre。x“`L四多项式乙()砂+(1一x)y+yn=0eex“产Hmrit多项式从()夕一2习+Zyn二0特殊函数及其积分定义式·(·dt二`·,·0卜Gamma函数F(z)弃一d._,生+:lpsi函数沙(z)砂气z)=一丁一InlLz)=一下一至口Zz无二。k(z+k).,u=0

7、57721566490153…Eler常数c(xS`卜卜子,Fresnel余弦和正弦积分C(x)S(x)、(·`·dt卜0xsj子一(·一dt卜,Cosine和Sine积分Ci(x)iS(x)悴、、二`卜粤f、,,,第一二类椭圆积分E(毋k)F(势k).华,、甲_,当,二时为完全椭圆积分:「do「粤七气价’北’一。”’“’一。’sn’乙L切丫一尸`o翻J了不不蒸J,,,丁K一F`k,E-一兀右-二-,北j合气Z_二、算法防一般考虑.。,1特殊函数的定义有无穷级数表达式和定积分表达式通常我们是采用其级数表达式定义计算而不采用数值积分法计算(尽管数值积分