立体几何平行_垂直证明的中点策略.pdf

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1、３０数学教学研究第３２卷第４期２０１３年４月立体几何平行、垂直证明的中点策略周雄军（广东省湛江一中培才学校５２４０４８）纵观多年的高考试题，可以发现，立体几ＳＣ，即ＳＣ∥ＰＯ．又ＳＣ平面ＢＯＰ，ＰＯ平何中平行、垂直两类问题尽管难度不大，但几面ＢＯＰ，所以ＳＣ∥平面ＢＯＰ．乎是每年必考的知识点．学生若能理解掌握例２如图２，立体几何的有关公理、判定和性质定理，当有ＰＡ⊥平面ＡＣ，四边中点条件出现或适当地引入中点作出辅助中形ＡＢＣＤ是矩形，线，立体几何平行、垂直的证明问题将会变得Ｅ，Ｆ分别是ＡＢ，异常轻松．下面的例子

2、便可具体说明"中点"ＰＤ的中点，求证：策略的采用在解决立体几何中平行、垂直证ＡＦ∥平面ＰＣＥ．明中的重要作用．分析要证明图２１中点用于平行问题的证明ＡＦ∥平面ＰＣＥ，根在立体几何的平行证明问题中若出现了据线面平行的判定定理，应证线线平行，即在中点的已知条件，这时我们应特别留意这一平面ＰＣＥ内找一条直线与ＡＦ平行．条件，因为它往往是解决本题的关键．在立体证明取ＰＣ中点Ｋ，连结ＥＫ，ＦＫ．因为Ｆ几何中若能利用好中点，平行问题的证明将为ＰＤ中点，在△ＰＣＤ中，ＫＦ是△ＰＣＤ的中位会变得更具特征性，其遵循的原理即为若知１线

3、，所以ＫＦ∥ＣＤ，ＫＦ＝ＣＤ．一中点，即想办法找出另一个中点，那常常应２又Ｅ为ＡＢ中点，四边形ＡＢＣＤ是矩注意能否应用三角形中位线、梯形中线等来证明线线平行，使之能利用中位线性质，从而形，所以ＡＥ∥ＣＤ，ＡＥ＝１ＣＤ，所以ＫＦ瓛２得到两直线平行或平行四边形，进而可以证ＡＥ，四边形ＡＥＫＦ为平行四边形，ＡＦ∥明线面平行的问题，从而达到证明线面的平ＥＫ．行关系．又ＡＦ平面ＰＣＥ，ＥＫ平面ＰＣＥ，所例１如图１，已以ＡＦ∥平面ＰＣＥ．知Ｓ是△ＡＢＣ所在本例条件中已经告知Ｅ，Ｆ分别为ＡＢ，平面外一点，Ｏ是边ＰＤ中点这一重

4、要信息，这一重要信息如何ＡＣ的中点，点Ｐ是用上呢？由于ＡＢ，ＰＤ为两条异面直线，不ＳＡ的中点，求证：ＳＣ能直接将现有中点连接构成三角形中位线，∥平面ＢＯＰ．所以需另觅中点，当再添加ＰＣ的中点Ｋ，就分析要证ＳＣ图１会使所求证的问题出现了例１中的应用三角∥平面ＢＯＰ，根据线形中位线的情况．在△ＰＣＤ中即可应用中位面平行的判定定理，应证线线平行，即要证１ＳＣ平行平面ＢＯＰ内的一条直线．线定理得到ＫＦ∥ＣＤ且ＫＦ＝ＣＤ这一重２证明因为Ｐ为ＡＳ中点，Ｏ为ＡＳ中要桥梁信息，进而可证得四边形ＡＥＫＦ为平点，所以ＰＯ为△ＡＳＣ的中

5、位线，所以ＰＯ∥行四边形，由平行四边形的性质可得到线线第３２卷第４期２０１３年４月数学教学研究３１平行的结论．的平面或证明ＢＦ例３如图３，在垂直ＰＡ所在的平底面是菱形的四棱锥面来实现．Ｐ－ＡＢＣＥ中，点Ｅ是证明连结ＡＯ．ＰＤ的中点，求证：ＰＢ因为ＡＦ＝ＡＢ，Ｏ为∥平面ＥＡＣ．ＢＦ的中点，所以ＡＯ分析要证明线⊥ＢＦ即ＢＦ⊥ＡＯ．图４面平行，很自然就会图３又Ｏ为Ｐ在平想着证明线线平行，而题中已知条件有点Ｅ面ＡＢＣ内的射影，所以ＰＯ⊥ＢＦ，即ＢＦ⊥ＰＯ．是ＰＤ中点，若能出现第二个中点，即可以转又ＡＯ∩ＰＯ＝Ｏ，ＡＯ，ＰＯ

6、平面ＰＡＯ，所以化为前例中三角形中位线的问题，所证问题ＢＦ⊥平面ＰＡＯ．即可迎刃而解．又ＰＡ平面ＰＡＯ，所以ＢＦ⊥ＰＡ，即ＰＡ⊥证明如图３，连结ＢＤ交ＡＣ于点Ｏ，ＢＦ．连结ＥＯ．因为四边形ＡＢＣＤ为菱形，所以Ｏ上例通过证明ＢＦ⊥平面ＰＡＯ，进而证为ＰＤ中点．又Ｅ是ＰＤ的中点，在△ＤＰＢ明了ＰＡ⊥ＢＦ，而这一证明过程中用了Ｏ为中，ＥＯ是△ＤＰＢ的中位线，所以ＥＯ∥ＰＢ．ＢＦ的中点，且ＡＦ与ＡＢ相等这一重要条又ＥＯ平面ＥＡＣ，ＰＢ平面ＥＡＣ，所件，而当连结ＡＯ时，由等腰三角形底边上的以ＰＢ∥平面ＥＡＣ．中线也为

7、底边上的高这一结论可知有ＢＦ⊥本例通过连结ＢＤ交ＡＣ于点Ｏ，巧妙ＡＯ，即得到了线线垂直．从而得到了证明本地构造出第二个中点，结合条件中的Ｅ是题的关键．ＰＤ的中点，这就出现了三角形中两边中点例５如图５，在问题，利用三角形中位线定理就可轻松地把三棱锥Ｐ－ＡＢＣ中，问题解决．ＡＢ＝ＡＣ，ＰＢ＝ＰＣ，２中点用于垂直问题的证明求证：ＰＡ⊥ＢＣ．在立体几何的有关垂直问题的证明中，分析要证明常见的是以证明线线垂直，线面垂直和面面ＰＡ⊥ＢＣ，即证明线线垂直的题型为主，究其规律，该类垂直问题常垂直，可证明ＰＡ垂图５由线线垂直证得线面

8、垂直，由线面垂直进而直ＢＣ所在的平面或证明ＢＣ垂直ＰＡ所在证得面面垂直，这证明思路源于证明垂直问的平面，本题有ＡＢ＝ＡＣ，ＰＢ＝ＰＣ两个等题的判定定理和垂直的定义．当题目中给出腰三角形，若能用好等腰三角形三线合一的中点或在一个三角形中有两边相等时，利用性质便可使求证的问题得到解决．好中点往往是解题的关键．证明取ＢＣ中点Ｏ，连结ＡＯ，ＰＯ．例４如图４，Ｐ是边长