高数课件26多元函数极值.ppt

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1、多元函数极值一、多元函数的极值和最值1、二元函数极值的定义(1)(2)(3)2、多元函数取得极值的条件证仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的驻点.注意：驻点极值点问题：如何判定一个驻点是否为极值点？解3、多元函数的最值与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值.求最值的一般方法设f(x,y)在D上连续，D内可微且在D内至多有有限个驻点,这时若f(x,y)在D内取得最值,则这个最值也一定是极值将函数在D内的所有驻点处的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相

2、互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值.故一般方法是在实际问题中，往往根据问题的性质就可以断定函数在区域内部确有最大值（最小值），这时如果函数在区域内只有一个驻点，则可以断定该点处的函数值就是函数在区域上的最大值（最小值）解如图,解由无条件极值：对自变量除了限制在定义域内外，并无其他条件.二、条件极值与拉格朗日乘数法条件极值：对自变量有附加条件的极值．一些较简单的条件极值问题可以把它转化为无条件极值来求解——降元法，但这种方法需要经过解方程和代入的手续，对于较复杂的方程就不容易作到，有时

3、甚至是不可能的解决条件极值问题的一般方法是Lagrange乘数法——升元法求z=f(x,y)其几何意义是其中点(x,y)在曲线L上假定点P(x0,y0)为条件极值点在(x0,y0)的某个邻域内且不同时为0f(x,y)可微确定了一个隐函数y=y(x)故z=f[x,y(x)]在P(x0,y0)处取得极值故即又由隐函数的微分法知代入上式令得P(x0,y0)为条件极值点的必要条件为xyzoz=f(x,y)LM无条件极值点.P条件极值点.例4求内接于椭球的最大长方体的体积,长方体的各面平行于坐标面解一设内

4、接于椭球且各面平行于坐标面的长方体在第一卦限的顶点的坐标为(x,y,z)则长方体的体积为V=8xyz令解得或两式相除同理即代入解得三式相加得解二任意固定z0(0

5、而此三个正数的和一定（=1）当积最大即可得将给定的正数m分成三个非负数x,y,z之和其中a,b,c为给定的正数例6解令D为平面x+y+z=m在第一卦限的部分由于在D的边界上，总有u=0而在D内有u>0且u在D上连续，故必存在最大值，且一定在D内取得另一方面由于u和lnu在D内有相同的极值点故问题转化为求lnu在条件x+y+z=m下的极值。令则与x+y+z=m联立解得注若一元函数f(u)在区间I上严格单调增一般情形多元函数g(P)在区域D上有定义则f(u)与复合函数f[g(P)]有相同的极值点利用

6、这一结论可将求f[g(P)]的驻点转化为f(u)的驻点或相反地将求f(u)的驻点转化为求f[g(P)]的驻点使问题简化——转移大法四、小结多元函数的极值（取得极值的必要条件、充分条件）多元函数的最值拉格朗日乘数法思考题思考题解答练习题练习题答案