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1、第三章中值定理应用研究函数性质及曲线性态利用导数解决实际问题罗尔中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理泰勒公式推广微分中值定理与导数的应用高等数学课件Rolle定理Lagrange中值定理Cauchy中值定理重要理论---中值定理高等数学课件方法导数在求极限中的应用---洛比塔法则高等数学课件最大值最小值极大值极小值拐点凹的凸的单增单减应用导数研究讨论函数性质及作图形高等数学课件函数的性质单调性单调性的判别法单调区间的求法函数极值函数极值的定义函数极值的求法函数最值最值存在判别法函数最值的求法曲线凹凸性曲线凹凸的定义曲线凹凸的判定曲线的拐点及其求法,()
2、高等数学课件典型例题重要理论中值定理导数在求极限中的应用--洛比达法则应用导数研究讨论函数性质及作图形恒等式.不等式的证明方程解的判定或证明求极限讨论函数性质及作图形不等式的证明技巧—造辅助函数一、罗尔(Rolle)定理第一节机动目录上页下页返回结束二、拉格朗日中值定理三、柯西(Cauchy)中值定理中值定理第三章费马(fermat)引理一、罗尔(Rolle)定理且存在费马目录上页下页返回结束罗尔（Rolle）定理 1、定理满足:(1)在区间[a,b]上连续(2)在区间(a,b)内可导(3)f(a)=f(b)使在(a,b)内至少存在一点机动目录上页下页
3、返回结束2、几何意义3、说明定理条件只是充分的。条件不全具备,结论不一定成立.例如,机动目录上页下页返回结束2)定理只是告诉存在性及取值范围， 并没有交代的准确位置和确切个数。机动目录上页下页返回结束4、推广多数函数易满足条件（1）和（2），不易满足（3）保留（1）、（2）,做推广——拉格朗日中值定理.例1.证明方程有且仅有一个小于1的正实根.证:1)存在性.则在[0,1]连续,且由介值定理知存在使即方程有小于1的正根2)唯一性.假设另有为端点的区间满足罗尔定理条件,至少存在一点但矛盾,故假设不真!设机动目录上页下页返回结束二、拉格朗日中值定理 1、定
4、理(1)在区间[a,b]上连续满足:(2)在区间(a,b)内可导至少存在一点使拉氏目录上页下页返回结束2、几何意义3、说明（1）拉格朗日中值定理的有限增量形式: （2）罗尔定理是拉格朗日定理的特例推论1:若函数在区间I上满足则在I上必为常数.令则机动目录上页下页返回结束推论2:如果两个函数的导数在某一区间内相等，则这两个函数在这个区间内相差一个常数。例2.证明等式证:设由推论可知(常数)令x=0,得又故所证等式在定义域上成立.自证:经验:欲证时只需证在I上机动目录上页下页返回结束例3.证明不等式证:设中值定理条件,即因为故因此应有机动目录上页下页
5、返回结束三、柯西(Cauchy)中值定理及(1)在闭区间[a,b]上连续(2)在开区间(a,b)内可导(3)在开区间(a,b)内至少存在一点使满足:柯西目录上页下页返回结束思考:柯西定理的下述证法对吗?两个不一定相同错!上面两式相比即得结论.1、定理2、几何意义:注意:弦的斜率切线斜率机动目录上页下页返回结束例4.设至少存在一点使证:结论可变形为设则在[0,1]上满足柯西中值定理条件,因此在(0,1)内至少存在一点,使即证明机动目录上页下页返回结束例5.试证至少存在一点使证:法1用柯西中值定理.则f(x),F(x)在[1,e]上满足柯西中值定理条件
6、,令因此即分析:机动目录上页下页返回结束例5.试证至少存在一点使法2令则f(x)在[1,e]上满足罗尔中值定理条件,使因此存在机动目录上页下页返回结束内容小结1.微分中值定理的条件、结论及关系罗尔定理拉格朗日中值定理柯西中值定理2.微分中值定理的应用(1)证明恒等式(2)证明不等式(3)证明有关中值问题的结论关键:利用逆向思维设辅助函数费马引理机动目录上页下页返回结束思考与练习1.填空题1)函数在区间[1,2]上满足拉格朗日定理条件,则中值2)设有个根,它们分别在区间机动目录上页下页返回结束上.方程2.设且在内可导,证明至少存在一点使提示:由结论可知,
7、只需证即验证在上满足罗尔定理条件.设机动目录上页下页返回结束3.若可导,试证在其两个零点间一定有的零点.提示:设欲证:使只要证亦即作辅助函数验证在上满足罗尔定理条件.机动目录上页下页返回结束4.思考:在即当时问是否可由此得出不能!因为是依赖于x的一个特殊的函数.因此由上式得表示x从右侧以任意方式趋于0.应用拉格朗日中值定理得上对函数机动目录上页下页返回结束作业提示:第二节目录上页下页返回结束费马(1601–1665)法国数学家,他是一位律师,数学只是他的业余爱好.他兴趣广泛,博览群书并善于思考,在数学上有许多重大贡献.他特别爱好数论,他提出的费马大定理
8、:至今尚未得到普遍的证明.他还是微积分学的先驱,费马引理是后人从他研究最大值与最小值的方法中提
