高等数学 第三章 中值定理 3-2微分中值定理ppt课件.ppt

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1、第二节二、罗尔(Rolle)定理微分中值定理三、拉格朗日(Lagrange)中值定理四、柯西(Cauchy)中值定理第三章一、问题的提出一、问题的提出两个现象：(1)曲线弧AB上⁀至少有一点处的切线是水平的，即(2)变速直线运动在折返点处的瞬时速度为0,即不同背景的两个现象，从数学的观点看，有一个共同点:那么，在什么条件下此结论一定成立?结论：二、罗尔中值定理满足：(1)在闭区间[a,b]上连续；(2)在开区间(a,b)内可导；(3)f(a)=f(b)，使得在(a,b)内至少存在一点定理3.1（罗尔中值定理）若证明分析：观察此图，曲线AB（上有哪些点的切线可能与x轴平行？（AB易看出，

2、上有两点：最高点C从函数的观点看，就是和最底点D.这个结论是否具有一般性？费马（Fermat）引理则证且在（或)的某邻域内有如果函数在点处可导，以为例证之.有则导数为零的点称为驻点极限的保号性证由于f(x)在闭区间[a,b]连续，故在[a,b]上取得最大值M和最小值m.(1)若M=m，因此则在闭区间[a,b]上(2)若M>m,则至少存在一点不妨设使得则由费马引理得时，同理可证.1º定理条件不全具备，结论不一定成立.注2º定理条件只是充分的，并非必要条件.条件不满足，结论不成立的例子：xyO1xyO1xyO1xyO-113°4°罗尔定理未指明有且仅有三个实根，并指出它们证例1在[－1,1

3、]上连续,可导，且f(－1)=f(1)，显然在(－1,1)内因此由罗尔定理知，至少存在一点使得方程所在的区间.同理，至少存在一点使得证明由于是三次函数，方程是的三次代数方程，所以它最多有三个实根.综上，方程恰有三个实根，分别在内.区间同理，至少存在一点使得至少存在一点使得的实数，证明方程：分析??例2由题设条件无法确定，转换思路：？若f(x)在[0,1]上满足罗尔定理的条件,则使得故对F(x)不能用零点定理.由罗尔定理，可知且使得证三、拉格朗日中值定理定理3.2（拉格朗日中值定理）(1)在闭区间[a,b]上连续；(2)在开区间(a,b)内可导；使得在(a,b)内至少存在一点满足：若注A

4、(a,f(a))，B(b,f(b))1°与罗尔定理相比，去掉了条件(3):2°结论(1.2)亦可写成：3°结论(1.2)的几何意义证明分析弦AB方程为:曲线y=f(x)与弦AB在两个端点A,B处重合.故在A,B两端点处，它们的纵坐标之差为零(相等).作辅助函数:作辅助函数证=0注1°特例2°3°Oxab(1.2)的其他形式：RL拉格朗日中值定理的有限增量形式:令增量△y的精确表达式对比：拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.推论1注证明等式由推论可知令x=0,得证设故例3则f(x)在[-1,1]上连续，在(-1,1)内可导，且证明不等式因为故

5、即证设中值定理条件,因此应有例4例5分析拉氏中值定理的条件,因此应有证即定理3.3（柯西中值定理）至少存在一点使得(1)在闭区间[a,b]上连续；(2)在开区间(a,b)内可导；(3)在开区间(a,b)内四、柯西中值定理及满足:若几何解释:（在曲线弧AB上至少有一点C(F(x),f(x)),在该点处的切线平行于弦AB（证分析作辅助函数:命题得证.注特例特例·RLC证分析结论可变形为:例6内容小结1.微分中值定理的条件、结论及关系罗尔定理拉格朗日中值定理柯西中值定理费马引理2.微分中值定理的应用(1)证明恒等式(2)证明不等式(4)证明有关中值问题的结论(3)确定方程根的存在性关键:利用

6、逆向思维构造辅助函数两个不一定相同！定理来证明?或者说:柯西定理的下述证法对吗?及均满足拉格朗日定理的条件,因为所以有因此思考题错!柯西定理是否可通过两次应用拉格朗日例1-1证明方程有且仅有一个小于1的正实根.证(1)存在性设且则在[0,1]连续,由零点定理知,存在使得即方程有小于1的正根.假设：另有(2)唯一性但当矛盾,故假设不真!时，综上所述，方程有且仅有一个小于1的正实根.例1-2证证例2-1且作辅助函数易知由连续函数介值定理知，使得又证例2-2作辅助函数即亦即证例3-1例4-1证例4-2证分析例5-1证证例5-2使得上，分析例6-1使得制造改变量的商猜右端=结论证使得例6-2

7、证费马(1601–1665)法国数学家,他是一位律师,数学只是他的业余爱好.他兴趣广泛,博览群书并善于思考,在数学上有许多重大贡献.他特别爱好数论,他提出的费马大定理:至今尚未得到普遍的证明.他还是微积分学的先驱,费马引理是后人从他研究最大值与最小值的方法中提炼出来的.拉格朗日(1736–1813)法国数学家.他在方程论,解析函数论,及数论方面都作出了重要的贡献,近百余年来,数学中的许多成就都直接或间接地溯源于他的工作,他是对分析数学产生全面影