高等数学-3_5极值与最值课件.ppt

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1、第五节机动目录上页下页返回结束函数的极值与最大值最小值第三章二、最大值与最小值问题一、函数的极值及其求法一、函数的极值及其求法1.极值概念则称x0为f(x)的极大值点f(x0)为函数的极大值极大值点与极小值点统称为极值点；机动目录上页下页返回结束极大值与极小值统称为极值。定义设f(x)在x0的某邻域内有定义,对于该邻域内任意x(x≠x0),若[极小值点],[极小值].注：例如:极小值点:极大值点:不存在.x0为极值点或不存在.2.极值必要条件机动目录上页下页返回结束定理1设x0是f(x)的极值点，则

2、注(1)驻点和不可导点不一定是极值点；(2)极值的嫌疑点为“驻点”和“不可导点”。例如：驻点x=0不是极值点.不可导点x=0不是极值点.定理2(极值第一判别法)机动目录上页下页返回结束3.极值充分条件(1)(2)(3)设f(x)在x0的某邻域若在点x0附近的左侧右侧则f(x0)为极大值;左侧左右两侧右侧则f(x0)为极小值;不变号(恒正或恒负),则f(x0)不是极值。内连续,例1.求函数的极值.解:1)2)令得当不存在时，3)是极大点，极大值为是极小点，极小值为不存在定理3(极值第二判别法)二阶导数

3、,且则在点取极大值;则在点取极小值.则在点是否取得极值需另外讨论.（改用一阶导数列表法）例2.求函数的极值.解:1)求导数2)求驻点令得驻点3)判别极大值为：∵∴极小值为：则极大值;则极小值.驻点x0例3.试确定常数a,b,c有一拐点且在处有极值,的凸区间使并求出解：由题意∴f(x)的凸区间为二、最值问题1.求在[a,b]上连续的f(x)的最大值与最小值.机动目录上页下页返回结束方法为:(2)求在内的极值嫌疑点(3)计算：(4)最大值最小值(1)求导数最值在区间内的极值点或区间端点处端点处达到.进而

4、在极值嫌疑点或分析：达到，例4.求下列函数在解:上的最大值和最小值.(2)求在内的极值嫌疑点(3)计算：(4)(3)中各数中,最大(小)的就是所求的最大(小)值(1)求例4.求函数在闭区间上的最大值和最小值.0.12xoyy=f(x)512xoyy=g(x)52.只有唯一极值点函数的最值且只有一个极值点x0，若x0是极机动目录上页下页返回结束小值点,大设f(x)在区间I上连续,那么,则x0是f(x)在I上的最值点.小大注:I可为任何区间（开、闭、无穷……）例5.求的最小值。机动目录上页下页返回结束解

5、:令得唯一驻点又∴最小值区间I上的连续函数，如果只有一个极值点x0，那么若x0是极小（极大）值点，则x0是函数在区间I上的最小（最大）值点；问题：如何求函数在无限区间上的最值？例6.求内接于半径为R的球的正圆锥体的最大体积xyo解圆体积令得3.实际问题中的最值∴当时,V最大,习题P1205（1）（5）（6）；6；7（1）（2）（3）；8；11P1254内容小结1.连续函数的极值(1)极值可疑点:使导数为0或不存在的点(2)第一充分条件过由正变负为极大值过由负变正为极小值(3)第二充分条件为极大值为极

6、小值最值点应在极值点和边界点上找;应用题可根据问题的实际意义判别.思考与练习2.连续函数的最值1.设则在点a处().的导数存在,取得极大值;取得极小值;的导数不存在.B提示:利用极限的保号性.试求解:2.故最大值为设试问为何值时,在时取得极值,还是极小.解:由题意应有又取得极大值为2.求出该极值,并指出它是极大则极大值;则极小值.3.从半径为R的圆铁片上挖去一个扇形做成漏斗，解:问留下扇形的中心角取多大，做成的漏斗的容积最大？RR设漏斗底圆半径为，漏斗高为：R容积令由于，所以